课时限时检测(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难三角函数的求值2,3,5,78三角函数的化简证明112三角函数的求角4综合应用6,9,10,11一、选择题(每小题5分，共30分)1.＝()A.B.C．2D.【解析】原式＝＝＝2.【答案】C2．(2014·淄博五中质检)已知sinθ＋cosθ＝(0＜θ＜π)，则cos2θ的值为()A．±B．－C.D．－【解析】又sinθ＋cosθ＝sin＝⇒sin＝，⇒θ＋＝⇒θ＝⇒2θ＝，所以cos2θ＝cos＝－.【答案】B3．(2014·成都模拟)若sin＝，sin(α－β)＝，则的值为()A．5B．－1C．6D.【解析】由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得∴∴＝＝5.【答案】A4．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于()A.B.C.D.【解析】由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－，又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，又0＜C＜π，∴C＝.【答案】A5．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于()A．7B．－7C.D．－【解析】∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，∴cosα＝－.又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.∴tan(＋α)＝＝＝.1【答案】C6．(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D．－【解析】先利用条件求出tanα，再利用倍角公式求tan2α.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝＝－.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan＝2，则的值为________．【解析】由tan＝2得＝2，∴tanx＝，∴＝＝＝＝.【答案】8．(2014·南昌模拟)设sin＝，则sin2θ＝______.【解析】∵sin＝，∴cos＝1－2sin2＝1－＝，又cos＝－sin2θ，∴－sin2θ＝，即sin2θ＝－.【答案】－9．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．【解析】＝＝＝－(sinα＋cosα)＝－.∴sinα＋cosα＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2014·吉林模拟)已知函数f(x)＝2sin，x∈R.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．【解】(1)f＝2sin＝2sin＝.(2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝，f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝.∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.2图3－5－111．(12分)(2014·广州模拟)如图3－5－1，以Ox为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为.(1)求的值；(2)若OP⊥OQ，求.【解】(1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.(2)∵OP⊥OQ，∴α－β＝，∴β＝α－.∴sinβ＝sin＝－cosα＝，cosβ＝cos＝sinα＝.∴＝＝＝＝.12．(13分)(2014·桂林模拟)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.【解】(1)∵f(x)＝sin＋sin＝sin＋sin＝2sin.∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明∵cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－.∴cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－，两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.由(1)知f(x)＝2sin，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝4×2－2＝0.3
