§10.3二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝_______________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有_________项，其中各项的系数__________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即_____________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，____________，…，C＝C.(2)增减性与最大值二项式系数C，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n是奇数时，中间的两项________和_______相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.自查自纠1．Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbnn＋1CCan－kbkTk＋1＝Can－kbkk＋12．(1)C＝C(2)k＜k＞CnCnCn(3)2n2n2n－1()二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7B．6C．5D．4解：由已知有C＝15，∴＝15，解得n＝6或－5(舍去)．故选B.(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项解：展开式共有2n＋1项，且各项系数与相应的二项式系数相同．故选C.()已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29解： (1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C＝C，得n＝10，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.∴二项式(1＋x)10中奇数项的二项式系数和为29.故选D.()的展开式中x8的系数是______(用数字作答)．解：二项展开式通项为Tr＋1＝C(x3)5－r＝Cx15－，令15－＝8，得r＝2，故x8的系数为C＝.故填.()(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解：(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝8a＋8＝32，得a＝3.故填3.类型一求特定项(1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．－40B．－20C．20D．40解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，的展开式中项的系数为C22(－1)3，x项的系数为C23，∴(2x－)5的展开式中常数项为C22(－1)＋C23＝40.故选D.【点拨】①令x＝1可得所有项的系数和；②在求出a的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．(2)已知在的展开式中，第6项为常数项，求含x2项的系数及展开式中所有的有理项．解：通项Tr＋1＝Cxx＝Cx， 第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，得n＝10.令＝2，得r＝2，∴含x2项的系数为C＝.根据通项公式，令＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－k，∴k应为偶数．∴k可取2，0，－2.即r可取2，5，8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为T3＝Cx2＝x2，T6＝C＝－，T9＝Cx－2＝.【点拨】①所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时，先准确写出通项Tr＋1＝Can－rbr，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可．②求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n的范围分析．(1)()在的展开式中，x2的系数为____________．解：展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r，令6－2r＝2，得r＝2，所以T3＝2Cx2＝x2，所以x2的系数为.故填.(2)()(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为CCC＝30，故选C.类型二展开式的系数和问题已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)＋＋＋…＋.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2...
