第33节微分VIP专享VIP免费

第3.3节微分一、微分的概念一、微分的概念二、微分的运算法则二、微分的运算法则三、微分在近似计算中的应用应用三、微分在近似计算中的应用应用一、微分的概念一、微分的概念xAxxxx)(x1.引例.00求正方形面积增量，以增量，给已知正方形边长为xxx.2202020的高阶无穷小是比面积增量xxoxoxAxxxxxxS结论：若边长改变很小时，面积的改变量可近似地用第一部分代替。思考：对于一般的初等函数，其增量是否都可以写成这种形式呢？.0,的高阶无穷小是比时，的主要部分，当是其中xxoxyxAxoxAxfxxfy是否有）（一般地，设xfy定义如果函数的增量可以表示为，其中A是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，则称)()(00xfxxfy)(xxAyx)(x)0(xx.)()(,)(;000000xAxdfxAdyxdfdyxxxfyxAxxxxxxxxx，或即或记作的微分关于在点叫做函数且是可微的在点问题：A=?2.微分定义)(xfy函数3.函数可微的充分必要条件（可微与可导的关系）.:.000可导点，可微函数在即）存在（是点可微的充分必要条件函数在xxfx.,limlim0000AxfAxxoAxyxoxAyxxx）（即则点可微函数在证明：.00,00000点可微故函数在的高阶无穷小，是关于即时，且无关，）与（）（）（与极限关系知则由无穷小可导设函数在xxxxxxxxfxxxfyxfxyx.0可导可微点综上可得，函数在x4.微分的几何意义当y是曲线f（x）上点M(x,y)的纵坐标的增量时，微分dy是曲线的切线上点的纵坐标相应增量.dyy微分dyxyOMxxfxdy)(tan定义若)(xfy在0xx处可导，则称其在0xx点的切线))(()()(0001xxxfxfxP是函数)(xfy在0xx点的线性化；若用)(1xP对)(xf逼近，即)()(1xPxf则称其为线性逼近，点0xx为逼近的中心.xxfdyxxf）（点可微在函数00,)(微分的讨论：dxxfdyxdxxxdxdyxyxxfdy)(.1)(从而，即，微分对于函数求微分公式注视导数为dy与dx的商，故也称导数为微商.二、微分的运算法则二、微分的运算法则1.微分基本公式xdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCd221csc)(cot6sec)(tan5sin)(cos4cos)(sin3)(20)(1）（）（）（）（）（）（xdxxdaxdxxddxeedadxaadxdxxxdxdxxxdaxxxx)(ln12ln)(log11)(10ln)(9cotcsc)(csc8tansec)(sec7）（）（）（）（）（）（22221)cot(161)(arctan151)(arccos141)(arcsin13xdxxarcdxdxxdxdxxdxdxxd）（）（）（）（.)3(;)2(;)()1(2vudvvduvududvvduuvddvduvud2.微分的四则运算法则3.复合函数的微分法则——微分形式的不变性.)d(d)())((d)())(()()(uufxxxfdxyyxxfxufy所以有.,)(d,),(的不变性这个性质称作微分形式总有量是自变量还是中间变无论结论：对于函数duufyuufy;)(),(duufdyufy则一方面，已知有对另一方面，已知)),(().(),(xfyxuufy.ln1xexxxd求xexxxexxxxexxxexxxdxxxxd-1ln1-d-d1lnd1-d-lnd1dln122例1解dyeyx求设,arctan.1)(1122dxeedeedyxxxx.d,2sinlnyxy求.2cot22cot22sin2cos2xdxdyxxxy，例2解例3解?,05.0,10问面积大约增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfy例4解,2rA设.05.0,10厘米厘米rrrrdAA2所以05.0102).(2厘米.)(0xxf00xxxxdyy,3,360303600360000x所以取化成弧度，得把2.计算函数的近似值附近的近似值在点）求（0)(1xxxf)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf...