第三讲 微分及导数的应用一、内容提要：本讲主要是讲解函数与极限、连续函数、导数问题。二、重点：本讲的重点是 微分的应用，二个中值定理，导数的应用。难点：本讲的难点是偏导数及其应用。三、内容讲解：1、微分及其应用：为了对微分有比较直观的了解，我们再来说明微分的几何意义。如下图所示：1.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则。2、 微分中值定理与导数的应用。2.1 罗尔中值定理：如下图所示，假如函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程 f’(x)=0 的根及 f’(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间保持固定符号，因而函数 f(x)在每个部分区间上单调。函数的极值判定：设函数 f(x)在区间（a,b）内有定义，x0 是（a,b）内的一个点，假如存在着点 x0 的一个邻域，对于这邻域内的任何点 x，除了点 x0 外，f(x)f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个微小值。 必要条件：设函数 f(x)在点 x0 处具有导数，且在 x0 处取得极值，那么这函数在 x0 处的导数 f’(x)=0。使导数为 0 的点叫做函数 f(x)的驻点。第一种充分条件：设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内可导且 f’(x)=0 假如当 x 取 x0 左侧邻近的值时，f’(x)恒为正，当 x 取 x0 右侧邻近的值时，f’(x)恒为负，那么 f(x)在x0 处取得极大值；假如当 x 取 x0 左侧邻近的值时，f’(x)恒为负，当 x 取 x0 右侧邻近的值时，f’(x)恒为正，那么 f(x)在 x0 处取得微小值；假如当 x 取 x0 左右两侧邻近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处没有极值。第二种充分条件：设函数 f(x)在点 x0 处具有二阶导数且 f’(x0)=0，f’(x0)≠0，那么（1）当 f’’(x0)<0 时，函数 f(x) 在 x0 处取得极大值；（2）f’’(x0)>0 时，函数f(x) 在 x0 处取得微小值。例 14、求函数 f(x)=（x2-1）3+1 的极值。解：f’(x)=6x（x2-1）2令 f’(x)=0，求得驻点 x1=-1,x2=0,x3=1，f’’(x)=6（x2-1）(5x2-1),因 f’’(0)=6>0,f(x)在 x=0 处取得微小值，微小值为 0；因 f’’(-1)= f’’(+1)=0,用定理无法判别，只能看导数 f’(x)在驻点 x1=-1， x3=1 左右邻近的符号。当 x 取-1 左侧邻近的值时，f’(x)<0，当 x 取-1 右侧邻近的值时，f’(x)<0，所以在x=-1 处没有极值。函数的最大值和最小值的判定：设 f(x)在(a,b...
