23无穷大与无穷小VIP免费

主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cnP35一、无穷小的概念二、无穷大的概念二、无穷小的性质三、无穷小的比较主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn一、无穷小的概念P35换言之：极限为零的变量称为无穷小.0xXxxxX定义如果当，函数的极限为，那么叫做的无时穷小量。0nxn极限为的数列也称为时的无穷小。主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn举例,.0sin时的无穷小是当函数xx.1时的无穷小是当函数xx.})1({时的无穷小是当数列nnn几点说明（3）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（4）零是作为无穷小的唯一的数，但无穷小不一定是零,0sinlim0xx ,01limxx ,0)1(limnnn 重点（1）定义中的极限涵盖P35中的7种;（2）无穷小必须针对自变量的某个具体变化过程;主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn2、无穷小与函数极限的关系:定理2.3xXlimf(x)Af(x)A(x),P36其中)(x是当xX时的无穷小.（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);意义).(,)()(20xAxfxxf误差为表达式附近的近似在）给出了函数（证明略主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn二、无穷小的性质:性质2.1在同一过程中,有限个无穷小的和与差仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.1例如)111(lim…个nnnnn以下都是重点性质2.2有限个无穷小的积仍为无穷小.性质2.3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.xxxx1arctan,1sin2都是无穷小,0,时当例如x主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn推论3（补充）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.性质2.4无穷小除以极限不为零的变量，商仍为无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn303limxxx例如,xxx3lim20xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx;32要快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0,1xx1sinlim0.不存在观察各极限型）（00极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.33;xx比要慢得多三、无穷小的比较主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn()(1)lim0()(),()()(1)()xXfxfxgxgxfxoxXgx如果，就说是比高阶的无穷小记作；定义:P3803lim20xxx例如;302高阶的无穷小是比时，当xxx).0()3(2xxox即设是同一过程下的无穷小且(),(),()0.fxgxgxxX主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn303limxxx例如：330xxx是时的低阶无穷小()()lim()()()xXfxfxgxgx２如果，就说是比低阶的无穷小．反过来：主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn()lim1,()()();()~();fxfxgxgxfxgx特殊地，如果则称与是等价的无穷小记作()(3)lim0,()();()xXfxCfxgxgx如果就说与是同阶的无穷小22112lim321xxxx，1sinlim0xxx．是等价无穷小与时，当xxxsin0).0(~sinxxx即22121xxx是的同阶无穷小主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn201cos4lim8xxx例如：1cos4xx是的二阶无穷小()(4)lim0,0,()()().kfxCkfxgxkgx如果就说是的阶的无穷小扩展：主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn例1.sintan,0:的三阶无穷小为时当证明xxxx解30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn11221112222.5()limlim=lim::性质无穷小等价替换定理如果，，且极限存在，则有意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,),(sinxoxx).(21cos122xoxx,0时当xxycos1221yx.21~cos1,~sin2xxxx主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cnxx~tanxx~)ln(1xex~1axxa~)(11xx~arctan2211xx~cosxx~arcsin③⑤⑥⑧①②④⑦sinxx:重点常用等价无穷小:重点,0时当x主讲：欧阳苗Email：mouyang@xmut.edu.cn例２解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1...