1 / 7 1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1．无穷小量的定义定义：如果 x → x0 （或x → ∞ ）时, 函数 f (x) 的极限 为零 ,那么把 f (x) 叫做当 x →x0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。例如：因为0)1(lim1xx，所以函数 x-1 是x→ 1时的无穷小。因为01lim xx，所以函数x1 是当 x→1 时的无穷小。因为011limxx，所以函数x11是当 x→－∞时的无穷小。以零为极限的数列｛x n｝，称为当n→∞时的无穷小，n1 ，n32都是 n→∞时的无穷小。注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x) 是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x→x 0（或 x→∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x→x 0（或 x→∞）时，极限是零。2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。例 1．求xxxsinlim解： 1sin x，是有界函数，而01lim xx 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。2 / 7 ∴xxxsinlim＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。4．无穷小的比较例：当 x→0 时， x, 3x ， x2, sinx, xx1sin2都是无穷小。观察各极限：0320limxxxx2 比 3x 要快得多1sinlim0xxxsinx 与 x 大致相同xxxxxxxsin1sinlimlim020sinx 比 x2 慢的多xxxxxx1sin1sinlimlim0220不存在不可比极限不同，反映了无穷小趋于0 的“速度”是多样的。得到以下结论：设α 和β 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小⑴如果 lim＝0，则称 β 是比 α 高阶的无穷小⑵如果 lim＝∞，则称 β 是比 α 低阶的无穷小⑶如果 lim＝k（k≠ 0），则称 β 与α 是同阶的无穷小⑷如果 lim＝1，则称 β 与α 是等价无穷小，记为α ～β 。例 2．比较当 x→0 时，无穷小xx111与 x2 阶数的高低。3 / 7 解：因为111)1()1()1)(1(1111limlimlimlim02202020xxxxxxxxxxxxxxx所以xx111～ x2 例 3．当 x→ 1 时，无穷小1－x 与 1-x3 ...
