课题0.1.5 无穷小量与无穷大量（2 学时）时间 年 月 日教学目的要求1、 理解无穷小和无穷大的概念及相互关系。2、 理解和掌握无穷小的性质和无穷小的阶。3、 会比较两个无穷小的大小。重点无穷小和无穷大的概念。难点会比较无穷小。教学方法手段对比讲解主要内容时间分配一、无穷小量 20 分钟定理 1二、无穷大量 15 分钟三、无穷小量与无穷大量的关系 10 分钟四、无穷小的性质 15 分钟五、无穷小的比较 15 分钟六、等价无穷小 15 分钟作业备注一、无穷小量假如（或）时，函数的极限为零，则称为（或）时的无穷小量，简称无穷小。注意：⑴ 无穷小是以零为极限的变量，不要把一个很小的数认为是无穷小。⑵ 无穷小是与极限过程相联系的。⑶ 当，，，时可得到相应的无穷小的定义。无穷小的定义对数列也适用。定 理 1 的 充 分 必要条件是其中，是一个无穷小量。证明：必要性 设，则所以充分性 设，则所以注：⑴定理 1 对，等其它情况都成立。⑵ 意义：①将一般极限问题转化为特别极限问题（无穷小）②给出函数在附近的近似表达式，误差为。二、无穷大量假 如（ 或） 时 ，无 限 增 大 ， 则 称为（或）时的无穷大量，简称无穷大。记作（或）注：⑴无穷大是变化的量，不要把一个很大的数认为是无穷大。⑵ 无穷大是与极限过程相联系的。⑶ 当，，，时可得到相应的无穷大的定义。无穷大的定义对数列也适用。⑷ 切勿将认为极限存在，因为极限必须是常数，而不是数，只表示一种状态。（5）无穷大是一种特别的无界变量，但无界变量未必是无穷大。三、无穷小量与无穷大量的关系在自变量的同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。【例 1】求解 时分母的极限为 0，分子的极限不为 0，即所以四、无穷小的性质1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。4、常数与无穷小的乘积仍是无穷小。五、无穷小的比较设，是同一过程中的两个无穷小，且，⑴，则称是比的高阶无穷小，记作；⑵，则称是比的低阶无穷小； ⑶，则称是比的同阶无穷小，特别地，假如，则称是比的等价无穷小； ⑷，则称是比的阶无穷小。【例 2】（1），即 所以当时，是比高阶无穷小； （2），即 所以当时，是的等价无穷小；六、等价无穷小定理 2 设，，，是同一过程中的无穷小，且，，存在，则证明：几个常用的等价无穷小：当时有 【例 ...
