函数奇偶性1VIP专享VIP免费

函数奇偶性复习高一数学组1.偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.3.奇偶性：那么，就说函数f(x)具有奇偶性.4.奇函数的图象关于对称,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是；偶函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)如果函数f(x)是奇函数或偶函数原点任意任意奇函数y轴偶函数知识回顾：5.若奇函数f(x)在［a,b］上是增函数，且有最大值M，则f(x)在［-b,-a］上是函数，且有.6.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=.7.若y=f(x)是偶函数，则f(x)与f(|x|)的大小关系是.___________________________.8.若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于对称.9.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的________.10.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即）．增最小值-M0f(x)=f(|x|)原点同时注意f(x)=f(|x|)=f(-x)=f(-|x|)整体性质定义域关于原点对称学点一奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=(x-1)·;（2）f(x)=.x1x13|x3|x12【分析】先观察定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系.若f(x)本身能化简，应先化简，再进行判断，可避免失误.突破热点题型：【解析】（1）先确定函数的定义域，由≥0得-1≤x<1，其定义域不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)既不是奇函数,也不是偶函数.x1x1x1x1（2）函数f(x)的定义域为［-1,0)(0,1∪］,关于原点对称， f(x)==∴f(-x)===-f(x),即函数f(x)是奇函数.xx12xx)(12xx123x3x12【评析】（1）判断函数奇偶性分两步：一是定义域是否关于原点对称；二是判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x).有时可用定义式的变形：f(x)-f(-x)=0，f(-x)+f(x)=0或用f(-x)/f(x)=±1进行判定。（2）如果一个函数的定义域关于原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.（3）定义域关于原点对称，满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)=0,xR.∈判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.2x1x1x2x11x2x1解：(1)定义域为A={x|xR∈，且x≠0}.因此,当xA∈时，-xA.f(-x)=-x+=-(x+)∈ =-f(x),f(x)∴为奇函数.x1x1(2)定义域为A={x|xR∈，且x≠0}.因此,当xA∈时，-xA.∈f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x).∴函数f(x)=x2+为偶函数2x)(12x12x1（4）由1-x2≥0x2-1≥0∴x=±1.∴函数的定义域为{-1,1},于是f(x)=0,x{-1,1}.∈满足f(-x)=f(x)=0,f(-x)=-f(x)=0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数.1x得2（3）函数的定义域为A={x|x>0}，关于原点不对称，∴函数f(x)=为非奇非偶函数.x1x判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+;（2）f(x)=x2+;（3）f(x)=x+;（4）f(x)=.x12x1x1x2x11x2学点二由奇偶性求函数解析式设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+x+1,求函数解析式.【分析】由奇函数的图象关于原点对称，找x≥0和x<0时解析式间的联系.【解析】当x<0时，-x>0，由已知得f(-x)=x2-x+1,f(x) 为R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)=x2-x+1,f(x)=-x∴2+x-1,又 f(0)=-f(0),f(0)=0.∴x2+x+1，x>0，∴0，x=0，-x2+x-1，x<0.f(x)【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式，则取x为这一范围上的任一值，再转化为条件.（2）在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式表示出来.课后思考：如果已知x2+x+1，x>0,0x=0，-x2+x-1，x<0.怎么判断奇偶性.f(x)1.已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|，求当x<0时，f(x)的表达式.解：设x<0，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又 f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,f(x)=x|x+2|.∴故当x<0时，f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.2.(13年湖南）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,求g(1)=______....