§9.7双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程－＝1(a＞0，b＞0)(3)范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2(9)离心率※(10)准线x＝±y＝±(11)渐近线方程y＝±x自查自纠1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)－＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，－a)，A2(0，a)(7)F1(－c，0)，F2(c，0)(9)e＝(e＞1)(11)y＝±x()下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1解：A，B选项中双曲线的焦点在x轴上，C，D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令－x2＝0，得y＝±2x，令y2－＝0，得y＝±x.故选C.()已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解：c＝5，e＝＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝52－42＝9，双曲线方程为－＝1.故选C.()已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等解：易知双曲线C1实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为；双曲线C2实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ，焦距为2tanθ，离心率为，又0<θ<，所以sinθ≠cosθ，tanθ≠1，综上知两双曲线只有离心率相等．故选D.已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．解： 方程－＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.故填(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．()若双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于____________．解：由题意知点P在双曲线E的左支上，根据双曲线的定义，|PF2|－|PF1|＝|PF2|－3＝6，得|PF2|＝9.故填9.类型一双曲线的定义及标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(－5，2)，焦点为(，0)；(2)对称轴为坐标轴，经过点P(3，2)，Q(－6，7)；(3)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．解：(1) 焦点坐标为(，0)，焦点在x轴上，∴可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线过点(－5，2)，∴－＝1，得a2＝.联立解得a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为－y2＝1.(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)， 所求双曲线经过P(3，2)，Q(－6，7)，∴解得A＝－，B＝.故所求双曲线方程为－＝1.(3)解法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，易求c＝2， 双曲线过点(3，2)，∴－＝1，得a2＝.联立解得a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.解法二：设双曲线方程为－＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所求双曲线方程为－＝1.【点拨】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算．(1)()设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为________．解：根据已知条件可判断双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，c＝，a＝1，b2＝c2－a2＝1，∴C的方程为x2－y2＝1.故填x2－y2＝1.(2)()已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解：由题意可得＝，c＝，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3，故双曲线的...
