安铺中学高一数学竞赛试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，与函数有相同定义域的是()A．B．C．D．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）3．已知函数，则的值为（）．A．1B．2C．4D．54、函数的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+）5．有4个函数：①②③④，其中偶函数的个数是（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）6．设是上的偶函数，且在上单调递减，则,,的大小顺序是（）A．B．MNUA．MNUB．MNUC．NMUD．C．D．7．函数的图象关于对称，则的单调增区间()A．B．C．D．8．若方程在内有解，则的图象是9．设奇函数在上为增函数，且，则使成立的的取值集合是（A）（B）（C）（D）10.在实数运算中,定义新运算“”如下:当时,;当时,.则函数(其中)的最大值是（）（“”仍为通常的加法）A.3B.8C.9D.18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．已知，则=.12．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是13．函数在区间[0,2]的最大值是14．给定集合与，则可由对应关系＝_________（只须填写一个符合要求的解析式即可），确定一个以为定义域，为值域的函数．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.15.计算下列各式的值，写出计算过程(12分)（I）（II）16．(本小题满分13分)已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，．(1)现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间；(2)写出函数的解析式和值域.17.（本小题满分13分）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价（元/件），可近似看做一次函数的关系（图象如下图所示）．（1）根据图象，求一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,①求S关于的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价18．（本小题满分14分）已知二次函数满足条件，及．（1）求函数的解析式；（2）在区间[－1，1]上，的图像恒在的图像上方，试确定实数m的取值范围；19．（本题满分14分）如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为。（1）求出关于的函数解析式；（2）求的最大值，并指出相应的值．20．（本小题满分14分）已知是偶函数．（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．安铺中学高一数学竞赛二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号12345678910答案ABDBCAADDD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11-112.[-3，+∞)13.-414.，，等___;三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：80分)15.(12分)答案略16.(13分)(1)补出完整函数图像得3分.的递增区间是，.……………………6分（2）解析式为…………12分值域为…………………………14分17.（13分）解：（1）由图像可知，，解得，所以．……4分（2）①由（1）,，．……8分②由①可知，，其图像开口向下，对称轴为，所以当时，．……13分即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．…14分18.（14分）（1）（2）【解析】解：（1）令……1分∴二次函数图像的对称轴为．∴可令二次函数的解析式为．……4分由∴二次函数的解析式为……8分另解：⑴设，则与已知条件比较得：解之得，又，…………8分（2）在上恒成立在上恒成立（10分）令，则在上单调递减……12分∴．……14分19.（14分）(1)作分别垂直交于，连结．……………2分由圆的性质，是中点，设………4分又在中，……………6分所以……………………………7分其定义域是………………………………………………………………8分(2)令，则，且………………………10分所以………………………………12分当时，的最大值是………………………………………时，>0，此时有∴…………11分若，即或，……………13分又，又当；即成立综上所述，当时，函数与的图象有且只有一个公共点．…………14分
