4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式1.点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(C)(A)y轴上(B)xOy面上(C)xOz面上(D)yOz面上解析:由于点P(1,0,2)的纵坐标y=0知,该点在xOz面上.故选C.2.点A(2,1,-1)关于x轴对称的点的坐标为(A)(A)(2,-1,1)(B)(2,-1,-1)(C)(-2,-1,-1)(D)(-2,1,-1)解析:关于x轴对称的两点的横坐标相等,其他坐标分别互为相反数.故选A.3.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是(B)(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于z轴对称(D)关于原点对称解析:A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B.4.如图,在空间直角坐标系中有一棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′,则A′C的中点E与AB的中点F的距离为(B)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:由题图可得,F(a,a,0),A′(a,0,a),C(0,a,0),所以E(a,a,a),则|EF|==a.5.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,1,1),则三角形ABC是(A)(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形解析:由题|AB|==,|AC|==,|BC|==1,所以AC2=AB2+BC2,所以三角形ABC是直角三角形.6.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是(C)(A)(4,2,2)(B)(2,-1,2)(C)(2,1,1)(D)(4,-1,2)解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则x==2,y==1,z==1.选C.7.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=,则a的值为(D)(A)2(B)4(C)0(D)2或4解析:由空间两点间的距离公式得|AB|==,即9+a2-6a+9=10,所以a2-6a+8=0,所以a=2或a=4.选D.8.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是(C)(A)圆(B)直线(C)球面(D)线段解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面,故选C.9.给出下列命题:①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c);②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c);③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定是(0,0,c);④在空间直角坐标系中,在xOy平面上的点的坐标一定是(a,0,c).其中正确命题的序号是.(把你认为正确的答案编号都填上)解析:命题①错,坐标应为(a,0,0);命题②③正确;命题④错,坐标应为(a,b,0).答案:②③10.已知点A(-2,2,3),点B(-3,-1,1),在z轴上有一点M,满足|MA|=|MB|,则点M的坐标是.解析:设点M的坐标为(0,0,z),因为|MA|=|MB|,所以=,解得z=,所以点M的坐标为(0,0,).答案0,0,)11.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′点关于原点的对称点的坐标是.解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M′(-2,0,-3),M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)12.在△ABC中,若A(-1,2,3),B(2,-2,3),C(,,3),则AB边的中点D到点C的距离为.解析:由题意得D(,0,3),所以|DC|==.答案:13.画一个正方体ABCDA1B1C1D1,以A为坐标原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标;(2)求棱C1C中点的坐标;(3)求平面AA1B1B对角线交点的坐标.解:空间直角坐标系如图所示.(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1).(2)棱C1C的中点M的坐标为(1,1,).(3)平面AA1B1B对角线交点的坐标为AB1的中点.即N(,0,).14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|DD1|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求线段MD,MN的长度;(2)设点P是DN上的动点,求|MP|的最小值.解:(1)|MD|==,|MN|==.(2)在xDy平面上,设点P的坐标为(2y,y,0),y∈[0,1],则|MP|===.因为y∈[0,1],所以当y=时,|MP|取最小值,即.15.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.解:(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有点都满足|MA|=|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.因为|MA|=...
