第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例1.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=()A.4B.3C.2D.02.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|等于()A.2❑√2+❑√3B.2❑√3C.4D.123.已知|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π24.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a方向上的投影为.5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:N)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.6.[2018·济南模拟]已知两个非零向量a与b的夹角为锐角,则()A.a·b>0B.a·b<0C.a·b≥0D.a·b≤07.[2018·衡水中学月考]已知平面向量a,b的夹角为π3,且|a|=1,|b|=12,则|a-2b|=()A.1B.❑√3C.2D.328.[2018·安徽江南十校联考]已知向量a与b均为单位向量,若❑√2a-b也是单位向量,则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.135°9.[2018·成都七中二诊]若向量⃗AB=(12,❑√32),⃗BC=(❑√3,1),则△ABC的面积为()A.12B.❑√32C.1D.❑√310.设向量a=(❑√3,1),b=(x,-3),c=(1,-❑√3),若b∥c,则a-b与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°图K25-111.[2018·龙岩模拟]如图K25-1所示,△AOB为等腰直角三角形,OA=1,OC为斜边AB上的高,点P在射线OC上,则⃗AP·⃗OP的最小值为()A.-1B.-18C.-14D.-1212.[2018·贺州模拟]已知矩形ABCD中,AB=2,AD=❑√3,点P为矩形内一点,且|⃗AP|=1,则(⃗PC+⃗PD)·⃗AP的最大值为()A.0B.2C.4D.613.[2018·宁夏平罗中学四模]已知|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,且λb-a与a垂直,则实数λ=.14.已知△DEF的外接圆的圆心为O,半径为4,如果⃗OD+⃗DE+⃗DF=0,且|⃗OD|=|⃗DF|,则向量⃗EF在⃗FD方向上的投影为.15.[2018·贵州黔东南州一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.D,E是线段AB上满足条件⃗CD=12(⃗CB+⃗CE),⃗CE=12(⃗CA+⃗CD)的点,若⃗CD·⃗CE=λc2,则当角C为钝角时,λ的取值范围是()A.(-136,29)B.(-118,29)C.(-136,19)D.(-118,19)16.[2018·淮南一模]如图K25-2所示,已知圆M:(x-4)2+(y-4)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,⃗ME·⃗OF的取值范围是()图K25-2A.[-8❑√2,8❑√2]B.[-8,8]C.[-4,4]D.[-4❑√2,4❑√2]课时作业(二十五)1.D[解析]由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.故选D.2.B[解析]|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60°=4+4+2×2×2×12=12,所以|a+b|=2❑√3.故选B.3.C[解析]cos
=a·b|a||b|=11×2=12,又向量a与b的夹角在区间[0,π]内,所以向量a与b夹角的大小为π3.故选C.4.2[解析]由题意知a+b在a方向上的投影为(a+b)·a|a|=a2+|a||b|cos60°|a|=2.5.2❑√7[解析]易知F1+F2=-F3,所以|F3|2=|F1+F2|2=4+16+2×2×4×12=28,所以|F3|=2❑√7.6.A[解析]因为a·b=|a||b|cos,两个非零向量a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,故选A.7.A[解析]因为平面向量a,b的夹角为π3,且|a|=1,|b|=12,所以|a-2b|=❑√(a-2b)2=❑√a2-4a·b+4b2=❑√12-4×1×12cosπ3+4×(12)2=1,故选A.8.A[解析]由题意知(❑√2a-b)2=2a2-2❑√2a·b+b2=2-2❑√2a·b+1=1,∴a·b=❑√22=cos,∴=45°,故选A.9.A[解析] ⃗AB=12,❑√32,⃗BC=(❑√3,1),∴|⃗AB|=1,|⃗BC|=2,又⃗AB与⃗BC的夹角的余弦值为⃗AB·⃗BC|⃗AB||⃗BC|=❑√32,∴∠ABC=150°,∴S△ABC=12×1×2×12=12,故选A.10.D[解析]因为b∥c,所以-❑√3x=(-3)×1,所以x=❑√3,所以b=(❑√3,-3),a-b=(0,4),所以a-b与b的夹角的余弦值为-124×2❑√3=-❑√32,所以夹角为150°.11.B[解析]设|⃗OP|=t≥0,因为⃗AP=⃗OP-⃗OA,则⃗AP·⃗OP=(⃗OP-⃗OA)·⃗OP=⃗OP2-⃗OA·⃗OP=t2-❑√22t=t-❑√242-18≥-18,当t=❑√24时取等号,所以⃗AP·⃗OP的最小值为-18.故选B.12.B[解析]以点A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设P(x,y),因为|⃗AP|=1,所以点P在第一象限内的以A为圆心的单位圆上,则x2+y2=1(x>0,y>0).根据三角函数定义,设P(cosα,sinα)0<α<π2,C(2,❑√3),D(0,❑√3),则⃗PC=(2-cosα,❑√3-sinα),⃗PD=(-cosα,❑√3-sinα),⃗AP=(cosα,sinα),所以(⃗PC+⃗...
