第27讲数系的扩充与复数的引入[解密考纲]复数的计算以选择题或填空题的形式出现,主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算.一、选择题1.(2017·全国卷Ⅱ)=(D)A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析===2-i,故选D.2.(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(C)A.B.C.D.2解析z===i(1-i)=1+i,所以|z|=.3.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是(C)A.-2B.-1C.0D.解析∵==-i=a+bi,∴∴lg(a+b)=lg1=0,故选C.4.(2018·甘肃兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=(C)A.0B.1C.-1D.±1解析由题意得解得a=-1.5.满足=i(i为虚数单位)的复数z=(B)A.+iB.-iC.-+iD.--i解析去掉分母,得z+i=zi,所以(1-i)z=-i,解得z==-i,故选B.6.已知复数z=1+ai(a∈R)(i是虚数单位),=-+i,则a=(B)A.2B.-2C.±2D.-解析由题意可得=-+i,即==-+i,∴=-,=,∴a=-2,故选B.二、填空题7.(2017·浙江卷)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=__5__,ab=__2__.解析∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,∴∴或∴a2+b2=5,ab=2.8.在复平面上,复数对应的点到原点的距离为____.解析由题意可知==.9.若复数z满足(1+2i)z=|3+4i|(i为虚数单位),则复数z=__1-2i__.解析∵(1+2i)z=|3+4i|=5,∴z===1-2i.三、解答题10.计算:(1);(2);(3)+;(4).解析(1)===-1-3i.(2)====+i.(3)+=+=+=-1.(4)=====--i.11.已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解析设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.∵==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.由于(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,∴解得2