第27讲数系的扩充与复数的引入[解密考纲]复数的计算以选择题或填空题的形式出现，主要考查复数的概念和复数代数形式的四则运算．一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ)＝(D)A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析＝＝＝2－i，故选D．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(C)A．B．C．D．2解析z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.3．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(C)A．－2B．－1C．0D．解析∵＝＝－i＝a＋bi，∴∴lg(a＋b)＝lg1＝0，故选C．4．(2018·甘肃兰州模拟)已知复数z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝(C)A．0B．1C．－1D．±1解析由题意得解得a＝－1.5．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(B)A．＋iB．－iC．－＋iD．－－i解析去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i，故选B．6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝(B)A．2B．－2C．±2D．－解析由题意可得＝－＋i，即＝＝－＋i，∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B．二、填空题7．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝__5__，ab＝__2__.解析∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴∴或∴a2＋b2＝5，ab＝2.8．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为____.解析由题意可知＝＝.9．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z＝__1－2i__.解析∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i.三、解答题10．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解析(1)＝＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝＝－－i.11．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2
