考点22数列求和及综合应用一、选择题1.(2016·浙江高考文科·T8)同(2016·浙江高考理科·T6)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列B.{}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{}是等差数列【解析】选A.先求出三角形的面积,再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列.作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn,…垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,…,Cn,…则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn∥…,因为|AnAn+1|=|An+1An+2|,所以|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,则|A3C3|=2b-a,…,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),所以Sn=c[(n-1)b-(n-2)a]=c[(b-a)n+(2a-b)],所以Sn+1-Sn=c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]=c(b-a),又S1=ac,S2=bc,S3=c(2b-a),S2-S1=c(b-a),S3-S2=c(b-a),所以数列{Sn}是等差数列.二、填空题2.(2016·浙江高考理科·T13)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.【解题指南】根据已知条件利用数列的有关知识求解.【解析】由题意得,a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,an=2Sn—1+1(n≥2),所以an+1-an=2an,an+1=3an,又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),S5==121.答案:1121三、解答题3.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式.(2)求{bn}的前n项和.【解析】(1)因为anbn+1+bn+1=nbn,所以a1b2+b2=b1,解得a1=2.又{an}是公差为3的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,即an=3n-1.(2)由anbn+1+bn+1=nbn得=,所以数列{bn}是首项b1=1,公比q=的等比数列,所以{bn}的前n项和为Sn=.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3.(2)求{an}的通项公式.【解析】(1)由题意可得a2=,a3=.(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以.故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.5.(2016·浙江高考理科·T20)设数列{an}满足≤1,n∈N*.(1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*.(2)若|an|≤,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*.【解题指南】(1)先利用三角形不等式得|an|-|an+1|≤1,变形为,再用累加法可得,进而可证|an|≥2n-1(|a1|-2).(2)由(1)可得,进而可得|an|<2+·2n,再利用m的任意性可证|an|≤2.【解析】(1)由≤1,得|an|-|an+1|≤1,所以,n∈N*.所以.因此|an|≥2n-1(|a1|-2).(2)任取n∈N*,由(1)知,对于任意m>n,,故|an|<·2n≤·2n=2+·2n.从而对于任意m>n,均有|an|<2+2n,①由m的任意性得|an|≤2.否则,存在n0∈N*,有||>2,取正整数m0>lo且m0>n0,则<=||-2,与①式矛盾,综上所述,对于n∈N*,均有|an|≤2.6.(2016·浙江高考文科·T17)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通项公式an.(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.【解题指南】(1)数列的基本计算.(2)利用数列中的分组法进行求和.【解析】(1)由题意得则又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an,所以数列{an}是以1为首项,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,n∈N*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1,当n≥3时,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3,设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3,当n≥3时,Tn=3+,当n=2时,也适合上式.所以Tn=7.(2016·天津高考理科·T18)(本小题满分13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列.(2)设a1=d,Tn=,n∈N*,求证:.【解题指南】(1)利用等差数列的定义求证.(2)利用bn是an和an+1的等比中项化简并得出Tn的通项公式,然后利用裂项法求证结论.【证明】(1)cn==an+1an+2-anan+1=2d·an+1.cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值.所以为等差数列.(2)由已知c1==a2a3-a1a2=2d·a2=2d(a1+d)=4d2,将c1=4d2代入(*)式得Tn=2d2n(n+1),所以=,得证.8.(2016·天津高考文科·T18)(本小题满分13分)已知是等比数列,前n项和为Sn,且,S6=63.(1)求的通项公式.(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an...
