高中数学 运用主元思想 探究解题途径 学法指导VIP免费

高中数学运用主元思想探究解题途径学法指导史建军根据具体条件和解题需要，从不同的角度出发，在众多变元中选用一个变元为主元，并以此为线索把握解决问题的方法叫做主元法。许多数学问题，都含有常量、参量和变量（统称为元素），这些元素中，必有某个元素在问题中处于突出的、主导的地位，我们在解题时把这个元素看作主元。那么，如何灵活的选择主元从而用主元法解题？实施主元法解题的技巧有哪些？本文就此作一些探讨。一、抓住特征，确立主元在众多变元中，选择其中一个变元为主元，视其他变元为参量，突出主要矛盾，淡化次要矛盾，促成问题转化。例1.已知且。求证：。解析：条件中有3个变量，却只有两个等式，证明似乎无从下手。考虑到本题是一个多变量问题，因此可先减少变元的个数，由代入可得：，选择变量x为主元，视y为参数，则上式可化为关于x的二次三项式即：（*），以上述方程有实数解为突破口，证明思路便十分清楚。在上述方程（8）中，因为，即。所以，所以，同理可得：。所以。评注：解决一个多变元问题，其关键是减少变元个数，由条件代入可消去一部分变元，但未必能达到最终变“多元”为“一元”的目的。此时，若选择其中一个变元为主元，视其它变元为参量，则能突出主要矛盾，变“多元”问题为“一元”问题。二、集中变量，整体消元在处理多变元问题时，选取含有若干变元的表达式为主元一一集中变元，通过消去主元（或非主元）逐步减少变元个数，达到解决问题的目的。例2.设，求的值。解析：根据一个等式求两个变量的值，思路受阻，因此进行三角变换式是首要工作。由已知等式，得：（*）用心爱心专心116号编辑若视为主元，则（*）式为为一元二次方程。由方程（*）有实数解，得：，即。又，故。因为，所以。所以，即。当时，（*）式即为。而所以，评注：上述由条件到（*）的变形，使原来的这两个“游离”的变元“集中”为这一个变元（主元），减少了变元个数，使问题豁然开朗。三、轮流做主，各个击破在处理多变元问题时，可在不同的解题阶段确立不同的主元，视其它变元为参数，从而突破参数之间的相互制约，化多元问题为一元问题。例3.对任意，（r为常数）恒成立的充要条件是什么？分析：易知当时，成立的充要条件是A=0且B=0，由此可用主元法采取轮流做主，各个击破的策略求解。解：不妨先以x为主元整理有：①当时①恒成立的充要条件是且②再以y为主元，整理②有：，同理可得：且③又以z为主元整理③有：，同样可得：。综上所述，可得（r为常数）对任意恒成立的充要条件是：且。四、反客为主，化难为易在处理含有参数与主变量的有关问题时，突破思维定势，选取参变量为主元，而视原来的“主元”为参量，反客为主，化难为易，化繁为简。例4.设方程上有实根，求的取值范围。解析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视。为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐。考虑到变量a，b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程为aOb坐标平面上的一条直线：l：为直线上的点，则即为，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知：用心爱心专心116号编辑因为，令，所以。且易知函数上为增函数，所以。等号成立的条件是即。当；当所以当，。评注：同样是数形结合，但显然变换主元后的数形结合更简洁。所以在一个含有多个变量的问题中，“主”和“客”是相对而言的，“客随主便”理所当然，但“喧宾夺主”也未尝不可。五、变中求定，固定主元在处理含有多变元的轮换对称问题时，固定某一变元——主元，突出矛盾的主要方面，可将原题化归为基本的，熟悉的问题来处理。例5.在中，求的最大值。分析：为轮换对称式，即A、B、C的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。解：在中，有，。所以，固定A，由于，所以当即时，y达到最大值且：因为，所以同时达到最大值，而因为，用心爱心专心116号编辑且（定值）所以当时即得最大值。故当时，。评注：变形后选择A为主元，先固定A的值，把B、C看作变量，目的在于把B、C这两个变量集中到，然后利用的最...