课堂达标(二十四)平面向量基本定理及坐标表示[A基础巩固练]1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于()A．b－aB．b＋aC．a＋bD．a－b[解析]BE＝BA＋AD＋DE＝－a＋b＋a＝b－a.[答案]A2．(2018·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)[解析]MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以即选A.[答案]A3．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)[解析]BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．[答案]B4．(2018·广东六校联考)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为()A．1B.C.D.[解析]过C作CE⊥x轴于点E.由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.[答案]D5．(2018·江苏五市联考)已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为()A．4B．8C．0D．2[解析]a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，∴⇒x＝4(x>0)．[答案]A6．(2018·抚顺二模)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为()A.a＋bB．－a－bC.a＋bD.a－b[解析]设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以，解得，则c＝a＋b.[答案]A7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝______.[解析]选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，于是得即故λ＋μ＝.[答案]8．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是______．[解析]若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线． AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.[答案]k≠19．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是______．[解析]由题意得，OC＝kOD(k＜0)，又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.又 B，A，D三点共线，∴OD＝λOA＋(1－λ)OB，∴mOA＋nOB＝kλOA＋k(1－λ)OB，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．[答案](－1,0)[B能力提升练]1．非零不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[解析]PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB，又2OP＝xOA＋yOB，∴消去λ得x＋y＝2，故选A.[答案]A2．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD＋BC，则△APD的面积为()A.B.C.D．2[解析]取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，AE＝(AB＋AC)，又AD＝(AB＋AC)，所以点D是AE的中点，AD＝.取AF＝BC，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP＝AD＋BC＝AD＋AF.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.[答案]A3.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为______．[解析]以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.[答案]24．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设OP＝xOA，OQ＝yOB，则＋＝______.[解析] 点P，G，Q在一条直线上，∴PG＝λPQ.∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB，①...
