高中数学双曲线中的焦点三角形专题辅导刘长柏双曲线上的点与两个焦点F1、F2构成了焦点三角形，围绕焦点三角形，结合双曲线的定义，可得到很多重要的结论，下面就双曲线中的焦点三角形进行阐述，以飨读者。例1过双曲线（a>0，b>0）的焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）A.4aB.4a+2mC.D.解：根据双曲线的定义，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则，，所以。因此，△ABF2的周长为4a+2m，故选B。评注：根据双曲线的定义，在双曲线的焦点三角形中，，=2a，这是焦点三角形中的一个很重要的结论，从而求出△的周长。例2设椭圆和双曲线的公共焦点为F1、F2，P为两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值等于（）A.B.C.D.解：由题意，不妨设点P在双曲线的右支上，则在椭圆中，，在双曲线中，，所以，。又，故在焦点三角形中，cos∠，因此，选B。评注：充分应用椭圆、双曲线的定义，求出焦半径，在双曲线的焦点三角形中，利用余弦定理，从而求出cos∠F1PF2的值。例3是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足=32，则∠=____________。解：不妨假设点P在双曲线的右支上，则，所以在焦点三角形中，cos∠，故∠=90°。评注：结合双曲线的定义，整体思考，从而顺利求解。例4已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是_________。解：不妨假设点P在双曲线的右支上，则由题意知即，所以，因此，。评注：在焦点三角形中，当∠时，我们有。例5过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦PQ，点是另一个焦点，若=，则双曲线的离心率等于_________。用心爱心专心解：设、分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形中，，，又，故有。评注：焦点三角形中，，而，我们可求得双曲线的离心率。例6若已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使是P到l的距离d与的等比中项？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由。解：由题意，，即，又，所以。根据双曲线的定义知，，因此，。故，这与点P、、构成焦点三角形矛盾，所以双曲线的左支上不存在点P，使是P到l的距离d与的等比中项。评注：根据双曲线的定义，结合焦点三角形，引出矛盾，从而使问题得以解决。用心爱心专心
