第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为()A．(1，1)B．(－1，1)C．(－1，－1)D．(1，－1)解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝()A.B．－C．－3D．3解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.故选B.法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.故选B.3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，OB＝(1，3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为()A.B.C.D．解析：选A.易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC知所以所以E.4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则＝()A.B.C．3D．21解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．AD＝(m，m)＝λAB＋μAC＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝．解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.答案：26．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为．解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝．解析：选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，于是得解得所以λ＋μ＝.答案：8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．2解：(1)OM＝t1OA＋t2AB＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．点M在第二或第三象限⇔解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知OM＝(4t2，4t2＋2)．因为AB＝OB－OA＝(4，4)，AM＝OM－OA＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2AB，所以A，B，M三点共线．[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A．1B.C.D．2解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以|OC|2＝|xOA＋yOB|2＝x2＋y2＋2xyOA·OB＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为.3．设OA＝(－2，4)，OB＝(－a，2)，OC＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共3线，则＋的最小值为．解析：由已知得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)，因为A，B，C三点共线，所以(－a＋2，－2)...
