第二节平面向量基本定理及坐标表示A级·基础过关|固根基|1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选B由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)解析：选D4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由题意得，4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以c＝(4，－6)，故选D．3．设a＝(x，－4)，b＝(1，－x)．若a与b同向，则x等于()A．－2B．2C．±2D．0解析：选B由题意得－x2＝－4，所以x＝±2.又因为a与b同向，若x＝－2，则a＝(－2，－4)，b＝(1，2)，a与b反向，故舍去，所以x＝2.故选B．4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x等于()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D因为a－b＝(3，1)，a＝(1，2)，所以b＝(－4，2)．所以2a＋b＝2(1，2)＋(－4，2)＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，解得x＝－1.故选D．5．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC＝2AE，则EM等于()A．AC＋ABB．AC＋ABC．AC＋ABD．AC＋AB解析：选C如图，因为EC＝2AE，点M是BC的中点，所以EC＝AC，CM＝CB，所以EM＝EC＋CM＝AC＋CB1＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.故选C．6．(2019届河南洛阳模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A．B．C．1D．－1解析：选A设正方形的边长为2，以点A为坐标原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，M(2，1)，N(1，2)，所以AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BN＝(－1，2)．因为AC＝λAM＋μBN，即(2，2)＝λ(2，1)＋μ(－1，2)，所以解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝，故选A．7．已知向量AB与向量a＝(1，－2)反向共线，|AB|＝2，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为()A．(1，0)B．(0，1)C．(5，－8)D．(－8，5)解析：选A依题意，设AB＝λa，其中λ<0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即2＝－λ，∴λ＝－2，∴AB＝－2a＝(－2，4)．又点A的坐标为(3，－4)，∴点B的坐标是(－2，4)＋(3，－4)＝(1，0)．故选A．8．(2019届南昌二模)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3，1)，P2(－1，3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3与向量a＝(1，－1)共线，若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2(λ∈R)，则λ等于()A．－3B．3C．1D．－1解析：选D设OP3＝(x，y)，则由OP3∥a，得x＋y＝0，于是OP3＝(x，－x)．若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则有(x，－x)＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D．9．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．因为AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠110．(2019届河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，)，点C在第二象限，且∠AOC＝150°，OC＝－4OA＋λOB，则λ＝________．解析：因为点A(1，0)，B(1，)，OC＝－4OA＋λOB，所以C(λ－4，λ)．因为点C在第二象限，∠AOC＝150°，所以tan150°＝＝－，解得λ＝1.答案：111．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.(1)求3a＋b－3c；2(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6...
