专题12导数的应用考点24导数与函数的单调性考场高招1巧用构造法,借助函数单调性判断大小解读高招技巧解读典例指引利用导数运算法则直接构造(1)已知“f'(x)g(x)+f(x)g'(x)”,可构造:H(x)=f(x)g(x);(2)已知“f'(x)g(x)-f(x)g'(x)”,可构造:H(x)=典例导引1(1)根据具体题设条件灵活构造首先通过观察所给的不等式的特点,适时构造函数,然后判断所构造函数的单调性,利用其单调性,回归到对原函数的符号的判断典例导引1(2)2.典例指引1(1)(2017四川资阳一诊)已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f'(x),且不等式xf'(x)<2f(x)恒成立,则()A.4f(1)
f(2)C.f(1)<4f(2)D.f(1)<4f'(2)(2)(2016福建质检)已知f(x)是定义在R上的减函数,其导函数f'(x)满足,则下列结论正确的是()A.对于任意x∈R,f(x)<0B.对于任意x∈R,f(x)>0C.当且仅当x∈(-∞,1)时,f(x)<0D.当且仅当x∈(1,+∞)时,f(x)>0【答案】(1)B(2)B【解析】(1)设函数g(x)=(x>0),则g'(x)=<0,所以函数g(x)在(0,+∞)内为减函数,所以g(1)>g(2),即,所以4f(1)>f(2),故选B.(2)因为函数f(x)是定义在R上的减函数,所以f'(x)<0.因为+x<1,所以f(x)+xf'(x)>f'(x).所以f(x)+(x-1)f'(x)>0,构造函数g(x)=(x-1)f(x),则g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增.又因为g(1)=(1-1)f(1)=0,所以当x<1时,g(x)<0,f(x)>0;当x>1时,g(x)>0,f(x)>0.又因为f(x)是定义在R上的减函数,所以f(1)>0.综上所述,对于任意x∈R,f(x)>0.故选B.3.亲临考场1.(2017贵州遵义模拟)设定义在R上的偶函数y=f(x),满足对任意x∈R都有f(t)=f(2-t),且当x∈(0,1]时,f(x)=.若a=f,b=f,c=f,则()A.b0.【解析】(1)f'(x)=ex-.由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0,所以m=1.于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=ex-.函数f'(x)=ex-在(-1,+∞)内单调递增,且f'(0)=0.因此当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.综上,当m≤2时,f(x)>0.考场高招2利用导数讨论函数的单调性或求单调区间的解题步骤1.解读高招类型解读典例指引证明或讨论函数f(x)的单调性(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x),并求方程f'(x)=0的根;(3)利用f'(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f'(x)的正负,由符号确定f(x)在该子区间上的单调性典例导引2(1)求函数的单调(1)确定函数f(x)的定义域;典例导引区间(2)求导数f'(x);(3)由f'(x)>0(f'(x)<0)解出相应的x的取值范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数.还可以列表,写出函数的单调区间2(2)2.典例指引2(1)(2017广东模拟)已知函数f(x)=alnx+x2-x,其中a∈R.当a>0时,讨论f(x)的单调性.(2)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R,令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间.(2)由f'(x)=lnx-2ax+2a,得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=.若a≤0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;若a>0,当x∈时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,当x∈时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为3.亲临考场1.(2016课标Ⅱ,理21)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0;(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.因为单调递增,对任意λ∈,存在唯一的xa∈(0,2],a=-f(xa)∈[0,1),使得h(a)=λ.所以h(a)的值域是.综上,当a∈[0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是.2.(2017广东汕头模拟)设函数f(x)=x2-(a+1)x+alnx,a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)讨论函数f(x)的零点个数.(2)由(1)可知,当00,所以函数f(x)有唯一零点;当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,又注意到f(1)=-<0,f(4)=ln4>0,所以函数f(x)有唯一零点;当a>1时,函数f(x)的单调递...
