课时分层作业(十六)空间向量及其线性运算共面向量定理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)．①若AB与CD共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；②只有零向量的模等于0；③共线的单位向量都相等．[解析]①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．[答案]③2．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.[解析]要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．[答案]②③3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP＝OA＋OB＋λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.【导学号：71392161】[解析] P与A，B，C共面，∴AP＝αAB＋βAC，∴AP＝α(OB－OA)＋β(OC－OA)，即OP＝OA＋αOB－αOA＋βOC－βOA＝(1－α－β)OA＋αOB＋βOC， 1－α－β＋α＋β＝1.∴＋＋λ＝1，解得λ＝.[答案]4．如图318，已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________(用向量a，b，c表示)．图318[解析]设G为BC的中点，连接EG，FG，则EF＝EG＋GF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.[答案]3a＋3b－5c15．如图319，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，则x＋y＋z＝________.图319[解析]EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝AD－AB＋AA1，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.[答案]6．如图3110，在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则AB＋BC－DE－AD化简的结果为________．图3110[解析] E为△BCD的重心，∴DE＝DF，DF＝DE.∴AB＋BC－DE－AD＝AB＋BF－AD－DE＝AF－AD－DE＝DF－DE＝0.[答案]07．i，j，k是三个不共面的向量，AB＝i－2j＋2k，BC＝2i＋j－3k，CD＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________.【导学号：71392162】[解析]若A，B，C，D四点共面，则向量AB，BC，CD共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得aAB＋bBC＋cCD＝0，即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. i，j，k不共面，∴∴[答案]18．有四个命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题是________(填序号)．2[解析]由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．[答案]①③二、解答题9．如图3111所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE＝EC，A1F＝2FD，若AB＝b，AD＝c，AA1＝a，试用a，b，c表示EF.图3111[解]如图，连接AF，则EF＝EA＋AF.由已知ABCD是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－a＋c.由已知，A1F＝2FD，∴AF＝AD＋DF＝AD－FD＝AD－A1D＝c－(c－a)＝(a＋2c)，又EA＝－AC＝－(b＋c)，∴EF＝EA＋AF＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．10．如图3112所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形EFGH是梯形.【导学号：71392163】图3112[证明] E，H分别是AB，AD的中点，∴AE＝AB，AH＝AD，则EH＝AH－AE＝AD－AB＝BD＝(CD－CB)＝＝(CG－CF)＝FG，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形．[能力提升练]1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA＝OB＋xOC＋3yOD，OB＝2xOC＋OD＋yOE，则x＋3y＝________.[解析]由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.[答案]2．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若O...
