高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程 第58讲 参数方程课时达标 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第58讲参数方程课时达标1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．解析(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.所以直线l的斜率为或－.2．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．解析(1)由得①2＋②2得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.由x＝1＋t得t＝x－1，代入y＝4＋t，得y＝4＋2(x－1)，所以直线l的普通方程为2x－y＋2＝0.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，所以由勾股定理得2＋2＝1，解得m＝3或m＝1.3．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解析(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点；当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－，因为l与⊙O交于两点，所以＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．解析(1)点P的直角坐标为(2,2)，令关于t的方程组无解，所以点P在直线l外．(2)直线l的普通方程为x－y＋1＝0，设Q(2＋cosθ，sinθ)，点Q到直线l的距离为d，则d＝＝，所以当sin＝－1时，dmin＝；当sin＝1时，dmax＝.6．(2019·信阳调考)极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．解析(1)由ρsin2θ＝8cosθ得ρ2sin2θ＝8ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsinα)2＝8(2＋tcosα)，整理得sin2α·t2－8cosα·t－16＝0.由已知sinα≠0，Δ＝(－8cosα)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，所以t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，故＋＝＋＝＝＝＝＝.