课时分层作业(五)向量的数量积(建议用时：40分钟)一、选择题1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于()A．B．C．1＋D．2B[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝.]2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝()A．2B．C．2D．4B[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0D[∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则AB·BC等于()A．－B．C．－D．C[因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以AB·BC＝1××cos150°＝－.]5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为()A．B．C．D．C[|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝b2⇒cos〈a，b〉＝＝＝.]二、填空题6．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________．－e[设a与b的夹角θ，则cosθ＝＝＝－，所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝3×e＝－e.]7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.5[|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5.]8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cosθ＝0，|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cosθ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cosθ＝0，故cosθ＝，因为0≤θ≤π，故θ＝.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.[解](1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82＝256.∴|4a－2b|＝16.10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.(1)求|b|；(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．[解](1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cosθ＝＝，又θ∈[0，π]，故θ＝.11．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A．a·c－b·c＝(a－b)·cB．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C．|a|－|b|＜|a－b|D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2ACD[根据向量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．]12．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD等于()A．2B．C．D．D[AC·AD＝|AC||AD|cos∠DAC＝|AC|cos＝|AC|sin∠BAC＝|BC|sinB＝|BD|sinB＝|AD|＝.]13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________.5或－8[因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，即9＋m2＋6ma·b＝49，又a·b＝|a||b|cos60°＝，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.]14．(一题两空)已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e.(1)a与b的夹角θ＝________；(2)若向量λa＋b与向量a－3b互相垂直，则λ＝________.(1)π(2)[(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影向量为|a|cosθe＝－e，所以cosθ＝－，所以θ＝.(2)因为λa＋b与a－3b互相垂直．所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝.]15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．[解](1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0，由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.所以AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝·＝AD2－AD·DC－DC2＝36－×81＝18.(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AB·AD－AB2＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.又AP·BP＝6，所以18－AB·AD＝6，所以AB·AD＝36.设AB与AD的夹角为θ，又AB·AD＝|AB|·|AD|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝.所以AB与AD夹角的余弦值为.
