平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【教材改编】1．(必修4P77A组T3改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是()A.EF＝CDB．AB与DE共线C.BD与CD是相反向量D．AE＝|AC|答案]D解析]根据向量的概念可知选D.2．(必修4P78A组T6改编)下列结论正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若a，b是两个单位向量，则a＝bC．若a＝b，b＝c，则a＝cD．若AB＝AC，则AB＝AC答案]C解析]根据向量的概念可知选C.3.(必修4P89例7改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD为()A．a＋bB．a－bC．－a－bD．－a＋b答案]D解析]MD＝BD＝(b－a)＝－a＋b，故选D.4．(必修4P92B组T2改编)已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的什么条件()A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案]A解析]若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|即p⇒q，若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒p.∴p是q的充分不必要条件，故选A.5．(必修4P90练习T4(2)改编)向量e1与e2不共线，若a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ的值为()A．1B．2C．－1D．－2答案]B解析]∵e1与e2不共线，且a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，∴存在μ∈R，使e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，得，∴λ＝2.6．(必修4P91A组T4改编)下列四个结论：①AB＋BC＋CA＝0；AB＋MB＋BO＋OM＝0；AB－AC＋BD－CD＝0；NQ＋QP＋MN－MP＝0，其中一定正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4答案]C解析]①AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，①正确；②AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB，②错；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD＋DC＝CB＋BC＝0，③正确；④NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0，④正确．故①③④正确．7．(必修4P92B组T5改编)O为四边形ABCD所在平面内一点，若OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD一定为()A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形答案]D解析]由OA＋OC＝OB＋OD，得OA－OB＝OD－OC，即BA＝CD，∴BA∥CD，且|BA|＝|CD|.∴四边形ABCD一定为平行四边形，故选D.8．(必修4P118A组T2(5)改编)M是▱ABCD的对角线的交点，O为平面内任一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM答案]D解析]如图，OA＋OB＋OC＋OD＝OM＋MA＋OM＋MB＋OM＋MC＋OM＋MD＝4OM＋(MA＋MC)＋(MB＋MD)＝4OM，故选D.9．(必修4P89例6改编)向量a，b不共线，OA＝a＋b，OB＝λa＋2b，OC＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则λ的值为________．答案]解析]AB＝OB－OA＝λa＋2b－(a＋b)＝(λ－1)a＋b，AC＝OC－OA＝2a＋3b－(a＋b)＝a＋2b，∵A，B，C三点共线，即AB与AC共线，∴存在实数μ，使AB＝μAC，即(λ－1)a＋b＝μ(a＋2b)＝μa＋2μb，∴∴λ＝，μ＝.10．(必修4P86例4改编)如图，▱ABCD中，AC＝a，BD＝b，则AB＝________，AD＝________.答案]a－ba＋b解析]法一：设AC与BD交于M(图略)，AB＝MB－MA＝－BD－＝－b－＝a－b.AD＝MD－MA＝BD－＝b－＝a＋b.法二：设AB＝x，AD＝y，则解得x＝a－b，y＝a＋b.11．(必修4P120B组T4改编)如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是E，F上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝b，AB＝2DC.(1)用a，b表示AM；(2)证明A，M，C三点共线．解析](1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋＝a＋b，又E为AD中点，∴AE＝AD＝a＋b，∵EF是梯形的中位线，且AB＝2DC，∴EF＝(AB＋DC)＝＝a，又M，N是E，F的三等分点，∴EM＝EF＝a，∴AM＝AE＋EM＝a＋b＋a＝a＋b.(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，∴MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，又MC与AM有公共点M，∴A，M，C三点共线．
