人教版高三数学体积的应用和有关组合体的运算，以及侧面展开与折叠问题VIP专享VIP免费

高三数学体积的应用和有关组合体的运算，以及侧面展开与折叠问题一.本周教学内容：体积的应用和有关组合体的运算，以及侧面展开与折叠问题二.重点、难点：1.会灵活运用体积公式解决有关问题，学会使用分割法、补形法、换底法等方法解决有关问题。2.解决多面体和旋转体互相外接、内切问题，旋转体及其它组合体有关元素的计算和面积、体积问题。3.有关多面体和旋转体侧面展开图的相关问题，平面图形折叠成几何图形的形状及性质，哪些量不变，哪些量发生变化，扇形、扇环的圆心角的计算及有关运算。【典型例题】例1.已知正三棱台ABC—A1B1C1中，上底边长为2，下底边长为4，高为3，求三棱锥B—AA1C1体积。解：从三棱台ABC—A1B1C1中，切去三棱锥B—A1B1C1与C1—ABC剩下的就是三棱锥B—AA1C1。而三棱锥B—A1B1C1与C1—ABC体积易求。台体体积可求，VVVVBAACBABCCABC111111台其中台上下下上VSSSS13373VShBABCABC11111113133344432VShCABCABC11313334232VBAAC117343323小结：本题把一个三棱台分割成三个三棱锥，其中两个易求，整体三棱台体积也可求，故所求三棱锥体积便能求了。这种方法称为分割法。例2.已知：四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形。（1）求三棱锥的体积；（2）求顶点D到底面的距离。解：（1）如图甲设AB=13，AC=15，将图甲中的三棱锥补成如乙所示的长方体，由此三棱锥的体积就转化成长方体的体积与四个相等的三棱锥的体积之差。DABCBACDE甲乙设长方体的三边长分别为x，y，z，则：xyxzyzxyz2222222221314159970126解之得：用心爱心专心115号编辑Vxyz长方体997012612655而VCABE131299701262155VVVDABCCABE长方体44255（2）设D到底面的距离为h，则：cosBABBCACABBC222222213141521314513，sinB1213VShhABC13123255，即：小结：这是一个不易直接求解的几何体，把它补成一个易求解的几何体的典型例子。有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。例3.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED⊥面A1FD1；（4）设AA1=2，求三棱锥E—AA1F的体积VE－AA1F（97年全国高考）D1C1CB1A1DABEFG解：（1）（2）（3）略。（4）取AB的中点G，则FG⊥面ABB1A1且FG平行且等于AD，因为体积VE－AA1F=VF－AA1E，又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F—AA1E的高FG=AA1=2，面积S△AA1E=1212221313224311112SVSFGABBAEAAFAAE平行四边形，所以.小结：高考题的最后一问一般较难，但若方法得当，也能顺利求解。如本例的等积转化，便是解决棱锥的体积和距离等有关问题的重要方法，希望同学们认真掌握。例4.一个圆锥的高为定值h，圆锥顶角的大小可以变化，球C1是圆锥的一个内切球，球C2是与圆锥侧面及球C1都相切的球，求当球C1的半径R为何值时，球C2的表面积最大，并求这个最大值。用心爱心专心115号编辑SrRAODC2C1图8-38解：作出该圆锥的轴截面，如图8-38所示，设球C2的半径为r，圆锥的高为hrRhRrhRrRhRhhRhh2224822故当时，取最大值，此时球取最大表面积。RhrhChh484816222小结：本例∠ASB是可变的，若将问题改为∠ASB多大时，球C2表面积最大，这时直接求较难，如按此法转化为求R和SC1后，再去求sinC1SB较易，这种转化思想应随时注意使用。例5.已知圆锥体的底面半径为R，高为h，内接于这个圆锥的圆柱的高为x，当x为何值时，圆柱的体积最大并求出这个体积。VxABrR图8-36解：如图8-36，这是圆锥及内接圆柱的轴截面，设圆柱的底面半径为r，则RrRxhrhRhRx1VxRhxhhRxhxhxRh圆柱222223211223427当且仅当hxx2即时取等号，xh3当时，圆柱的体积最大，最大体积为xhRh34272小结：关于“接”的问题，有各种不同接的方式...