课下层级训练(二十六)平面向量的概念及其线性运算[A级基础强化训练]1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②【答案】A[根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．]2．(2019·山东胶南月考)向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B[由A，B，C，D四点共线，得向量AB与CD共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件．]3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋AC【答案】A[作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.]4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|【答案】A[方法一 |a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在□ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若AB＝a，AC＝b，则PQ＝()A．a＋bB．－a＋bC．a－bD．－a－b【答案】A[PQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.]6．(2019·山东淄博月考)已知a，b是不共线的两个向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝1D．λμ＝－1【答案】C[ 向量a和b不共线，∴AB和AC为非零向量，则A，B，C三点共线的充要条件为∃k(k≠0)，使得AB＝kAC，即λa＋b＝k(a＋μb)＝ka＋kμb， a和b不共线，∴λ＝k,1＝kμ，∴λμ＝1.]7．(2019·山东枣庄月考)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，AD＝b，则向量BF＝()A．a＋bB．－a－bC．－a＋bD．a－b【答案】C[如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以BF＝BE＝(BC＋CE)＝＝－a＋b.]8．(2019·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝________.【答案】3[由题设可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝AB＋AC，则x＝，y＝，故＝3.]9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.【答案】[由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.]10．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________.【答案】[由题意可求得AD＝1，CD＝，∴AB＝2DC， 点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝， 0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.][B级能力提升训练]11．(2019·山东济南月考)设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则的值为()A．B．C．1D．2【答案】A[ D是AC的中点，∴DA＋DC＝0.又 MB＋MA＋MC＝0，∴MB＝－(MA＋MC)＝－(DA－DM＋DC－DM)，即MB＝3DM，故MD＝BM，∴＝.]12．(2019·山西太原模拟)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为()A．2B．3C．4D．8【答案】A[ PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且方向相同，∴＝＝＝3，∴S△PAB＝＝2.]13．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示)【答案】e1＋e2[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)＝(5e1＋3e2)．]14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R...
