一道无棱二面角的不同解法如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥底面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，求面SCD与面SBA所成二面角的大小。解法一：延长BA与CD，交于点P，连接SP。过点A作AE⊥SP，垂足为E，连接DE。∵SA⊥底面ABCD,AD面ABCD∴SA⊥AD∵AD⊥ABSA∩AB=A∴AD⊥面SAB∴AE为ED在底SAB内的射影∵AE⊥SP∴ED⊥SP∴∠AED即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角在Rt△SAP中，SA=AP=1∴AE=在Rt△EAD中,tan∠AED==∴∠AED=arctan点评：对于无棱二面角的求解，关键在于如何寻找二面角的棱。很明显，在这个题目中，已经知道了两个半平面的一个公共点，要是再能找到两个半平面的另一个公共点，那么连接两个公共点的直线即为二面角的棱。在寻找二面角的平面角时，三垂线法是很重要的方法。在添加辅助线时也可以过点D作DE⊥SP，垂足为E，连接AE，是利用三垂线定理的逆定理。问题的关键是如何在其中一个半平面内寻找到一个特殊点，向另一半平面引垂线。方法二：∵SA⊥底面ABCD,AD底面ABCD∴SA⊥AD∵AD⊥AB,AB∩SA=A∴AD⊥面SAB同理BC⊥面SAB∴△SDC在面SAB中的射影为△SAB设面SCD与面SBA所成的二面角为θ，则cosθ=在RtΔSAD中,SD=在RtΔSBC中,SC=过点D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt⊿DCE中，DC=在ΔSDC中,cos∠SDC==-∴sin∠SDC=SΔSDC=···=又SΔSAB=·1·1=∴cosθ==∴θ=arcos点评：利用射影面积公式求二面角的关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，垂直于另一个半平面的直线。此题的特别之处是从一个半平面出发有两条垂直用心爱心专心1于另一个半平面的垂线。方法三：以A为坐标原点，以BA、AB、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则S(0,0,1)C(-1,1,0)D(0,,0)∴=(-1,1,-1),=(0,,-1)设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)∵n⊥,n⊥∴n••••=0,n•=0解得x=z,y=2z令z=1，则n=(1,2,1)又∵平面SAB的法向量为AD=(0,,0),∴COS===由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角.∴所求二面角的大小为arccos点评：将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决。用心爱心专心2
