直线与圆锥曲线问题解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线与方程中的重点内容，特别是公共点，弦长及最值等方面的内容更是本章的热点．下面就其三个方面进行说明．1．直线与圆锥曲线的交点问题，考查用方程组的方法求交点的个数及交点坐标，培养方程思想例1讨论直线与双曲线的公共点的个数．解：联立方程整理得，当时，．当时，，若，则；若，则；若，则或．综上所述，当时，直线与双曲线相切于一点；时，直线与双曲线相交于一点；或时，直线与双曲线没有公共点；或或时，直线与双曲线有两个公共点．说明：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．2．直线与圆锥曲线的相交弦中点问题，考查运用一元二次方程根与系数的关系，考查用点差法与中点建立联系的能力例2已知倾斜角为的直线过点，若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值．解：由题意易知，直线的方程为，由方程组得．设两个交点分别为，则，因为的中点坐标为，所以，即，得．用心爱心专心1注:本题同样也可用“点差法”解．说明：（1）求弦中点（轨迹）问题一般解题步骤:①联立解方程组转化为一元二次方程；②应用根与系数的关系；③消参数（注意检验）．（2）求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系；有时采用“点差法”，可优化解题方法，简化运算．3．圆锥曲线的弦长问题，考查两点的距离公式，弦长公式，以及分类讨论思想例3已知点和，动点到两点的距离之差的绝对值为2，点的轨迹与直线交于两点，求线段的长．解：设点，则，根据双曲线的定义，可知点的轨迹是双曲线．由，得，故点的轨迹方程是．由消去，得．因为，所以直线与双曲线有两个交点．设交点为，则，．故（或）．说明：（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长；（2）当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式或；如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．用心爱心专心2
