高考数学复习点拨 运用反证法要善于制造“矛盾”VIP免费

运用反证法要善于“制造”矛盾反证法是间接证明的一种基本方法，是从反面的角度思考问题的证明方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具．反证法就是先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，依靠矛盾推翻假设,从而证明原命题成立的.反证法的应用非常广泛,用反证法证明命题“若p则q”时，我们常常需要“制造”以下四种“矛盾”.一.与原命题的条件矛盾；例1.组装甲、乙、丙三种产品，需要A,B,C三种零件，每件甲产品用零件A,C各2个；每件乙产品用零件A2个，零件B1个；每件丙产品用B,C各1个，如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下2个A零件，1个B零件，C零件都恰好用完，试证无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A，B，C用完．解:假设组装甲x件，乙y件，丙z件，零件A,B,C恰好用完，则有方程组5818102225210222zyyxzx解得3153273210zyx，方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误，所以原命题成立．点评:本题的结论是“不论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A,B,C用完”,A,B,C不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件A，B,C都恰好用完”，这只有一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为零，因此从反面出发，较易证．通过推理得到的结果与题设矛盾.二.与假设矛盾例2.求证：抛物线没有渐近线.分析:本题已知条件太少,直接证明难度太大,可以运用反证法.证明：设抛物线的方程是pxy22(0p)。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是baxy，易知a、b都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组baxypxy22)2()1(的两组解的倒数都是0。将（2）代入（1），得0)(2222bxpabxa（3）设1x、2x是（3）的两个根，由韦达定理，可知用心爱心专心221)(2apabxx，2221abxx则0)(2112212121bpabxxxxxx，（4）0111222121baxxxx，（5）由（4）、（5），可推得0p，这于假设0p矛盾。所以，抛物线没有渐近线。点评:利用假设作条件,经过推理论证,得出的结论与假设矛盾.三.导出一个恒假命题．例3.已知p3+q3=2，求证：p+q≤2.分析：本题已知为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，应考虑到求立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑反证法．证明：假设p+q>2，那么p>2-q，∴p3＞(2-q)3=8-12q+6q2-q3．将p3+q3=2，代入得6q2-12q+6<0，即6(q-1)2＜0.由此得出矛盾．∴p+q≤2.点评：(q-1)2不可能小于0.6(q-1)2＜0是一个恒假命题．当命题“结论反面”比“结论”更为明确具体时,宜用反证法.四.这与定理(公理)产生矛盾例4.过平面上的点A的直线a，求证：a是唯一的。证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，b∵a、b是相交直线，∴a、b可以确定一个平面。设和相交于过点A的直线c。∵a，b，∴ca，cb。这样在平面内，过点A就有两条直线垂直于c，这与定理产生矛盾。所以，a是唯一的。点评:本题利用假设,经过推证,与公理、定理产生矛盾。适宜用反证法证明的数学命题．①结论本身是以否定形式出现的一类命题．②关于唯一性、存在性的命题．③结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题．④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题．用心爱心专心