平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用一、法向量的定义：与平面垂直的向量叫平面的法向量（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓｃｏｓ=若a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),则a·b=∣a︳=三、向量积：a×ba×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即：a×b垂直平面）大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积
如图所示：a×bbαa（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）a×b的坐标计算设a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2)则：a×b=（︳y1yz1z︱,-︱x1xz1z︱,︱x1xy1y︱）其中：二阶行列式︱abcd︱=ad-bc习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下作b×a时，把b写在上，把a写在下练习：已知a=（2，1，0）b=（-1，2，1）（1）求a×b
（2）求b×a解：a×b=b×a=注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可
用心爱心专心例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点
求平面AEF的一个法向量解：以D为坐标原点建立坐标系∴A（）D1C1E（）A1B1F（）E∴AF=（）AE=（）DFCAB∴平面AEF的法向量n=()四、法向量在求角中的应用
1、用法向量求线面角
如图naaΘΘnΘ=12π-Θ=-12π两种情况下都有：sinΘ=︱cos︱因为2、用法向量求二面角n1Θ（1）n2用心爱心专心Θn1(2)n2如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）
因此可以用向量的数量积公式的变形直接求出二面角
例：如图所示，正方体ABCD-
