第8节直线与圆锥曲线的位置关系1．已知抛物线y2＝2x，过点(－1,2)作直线l，使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A．0条B．1条C．2条D．3条解析：D[因为点(－1,2)在抛物线y2＝2x的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－1,2)的切线，过点(－1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.]2．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为()A．y2＝－2xB．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对解析：C[由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴2＝·＝·－4.解得p＝－1或p＝3，∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.故选C.]3．过点P(1,1)作直线与双曲线x2－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A．存在一条，且方程为2x－y－1＝0B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0D．不存在解析：D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x－y＝1，x－y＝1，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2，故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.联立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解析：D[如图焦点F(1,0)，直线的方程为y＝(x＋2)，将其代入y2＝4x得：x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1x2＝4，∴FM·FN＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2)＝x1x2－(x1＋x2)＋＝×4－×5＋＝8.]5．(2019·浙江百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：A[因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求OA·OB的取值范围．解：(1)由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，所以a2＝b2.因为双曲线－x2＝1的焦点坐标为(0，±)...
