第2讲函数的应用1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是__________．答案∪解析f(x)＝＋sinωx－＝(sinωx－cosωx)＝sin.因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－
0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________．答案∪解析由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得02，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．综上所述，a∈∪.3．(2016·山东)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|. m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.4．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．答案(1)1900(2)100解析(1)当l＝6.05时，F＝＝≤＝＝1900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1900辆/时．(2)当l＝5时，F＝＝≤＝＝2000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一函数的零点1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1(1)函数f(x)＝log2－x2的零点个数为________．(2)函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是________．答案(1)2(2)2解析(1)令f＝log2－x2＝0，log2＝x2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点．(2)f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数，即方程3－x＝4－x2的根的个数，即函数y＝3－x＝()x与y＝4－x2图象的交点个数．作出函数y＝()x与y＝4－x2的图象，如图所示，可得函数f(x)的零点个数为2.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1(1)函数f(x)＝x2－4x＋5－2lnx的零点个数为________．(2)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为________．答案(1)2(2)3解析(1)由题意可得x＞0，求函数f(x)＝x2－4x＋5－2lnx的零点个数，即求方程lnx＝(x－2)2＋的解的个数，数形结合(图略)可得，函数y＝lnx的图象和函数y＝(x－2)2＋的图象...
