层级快练(七十七)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－<－答案C解析(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a
0，y>0，a∈R，b∈R.求证：()2≤.答案略证明因为x>0，y>0，所以x＋y>0.所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤.7．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.答案略证明因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.8．(2018·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：＋＋≥.答案(1)(2)略解析(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝.所以＋＋≥.9．(2016·课标全国Ⅱ，理)已知函数f(x)＝|x－|＋|x＋|，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.答案(1){x|－1－1；当－0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．答案(1)略(2)略解析由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0－，所以－－2，所以00，n>0，且m＋n＝1，求证：＋≤2.答案(1)[－1，3](...
