中档大题规范练(一)(建议用时：60分钟)1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若不等式2n2－n－3＜(5－λ)an对∀n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．[解](1)当n＝1时，Sn＝2an－2n＋1，即S1＝a1＝2a1－22，得a1＝4.当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－2n，则an＝2an－2an－1－2n，得an＝2an－1＋2n，所以－＝1，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．所以＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n.(2)原不等式即(n＋1)(2n－3)＜(5－λ)(n＋1)2n，等价于5－λ＞.记bn＝，则5－λ＞bn对∀n∈N*恒成立，所以5－λ＞(bn)max.bn＋1－bn＝－＝，当n＝1,2时，5－2n＞0，bn＋1＞bn，即b1＜b2＜b3；当n＞2，n∈N*时，5－2n＜0，bn＋1＜bn，即b3＞b4＞b5＞…；所以数列{bn}的最大项为b3＝，所以5－λ＞，解得λ＜.(教师备选)1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A＋C)＝2sinAcos(A＋B)，且C＝.(1)求证：a，b,2a成等比数列；(2)若△ABC的面积是2，求各边的长．[解](1)证明： A＋B＋C＝π，sin(A＋C)＝2sinAcos(A＋B)，∴sinB＝－2sinAcosC，在△ABC中，由正弦定理得，b＝－2acosC, C＝，∴b＝a，则b2＝2a2＝a·2a∴a，b,2a成等比数列．(2)S＝absinC＝ab＝2，则ab＝4，由(1)知，b＝a，联立两式解得a＝2，b＝2，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×2×＝20，∴c＝2.2．在2018年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，数学成绩的频率分布直方图如图61图61(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都特别优秀的概率；②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据：①K2＝；②P(K2≥k0)0.500.40…0.0100.0050.001k00.4550.708…6.6357.87910.828[解](1)共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%，语文成绩特别优秀的概率为P1＝1－0.95＝0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05＝5人，数学成绩特别优秀的概率为P2＝0.002×20＝0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04＝4人．(2)①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，记两科都特别优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科特别优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，共有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)共15种，其中这两人两科成绩都特别优秀的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)这3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：P＝＝.②2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀314数学不特别优秀29496合计595100∴K2＝＝≈42.982＞6.635，∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．2．在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PA＝AB＝4，AD＝CD，点N是CD中点．图62(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求点M到平面PBC的距离．[解](1)证明：在正三角形△ABC中，AB＝BC，在△ACD中，AD＝CD，又BD＝BD，所以△ABD≌△CBD，所以M为AC的中点，又点N是CD中点，所以MN∥AD，又AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD；(2)设M到平面PBC的距离为h，在Rt△PAB中，PA＝AB＝4，所以PB＝4，在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，所以PC＝4，在△PBC中，PB＝4，PC＝4，BC＝4，所以S△PBC＝4，由VMPBC＝VPBMC，即×4×h＝×2×4，解得h＝，所以点M到平面PBC的距离为.3．某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号分组频数频率第一组[145,155)50.05第二组[155,165)350.35第三组[165,175)30a第四组[175,185)bc第五组[185,195)100.1(1)请写出频率分布表中a、b、c的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替...
