高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直课时分层作业（含解析）新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(二十)平面与平面垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个D[当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥βC[因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.]3.如图所示，平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，下列结论中不正确的是()A．PD⊥BDB．PD⊥CDC．PB⊥BCD．PA⊥BDA[若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为平面PAD⊥矩形ABCD，且PA⊥AB，所以PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC．因为PA⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD．故选A．]4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°C[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC．又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.]5．(多选题)如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCABC[由题意，知BC∥DF，所以BC∥平面PDF，故结论A成立；易证BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，平面PDF⊥平面PAE，故结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．]二、填空题6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.13[连接BC．因为BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因为BC⊂α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5.在Rt△CBD中，CD＝＝13.]7．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．3[因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD．所以平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD．又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．]8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角PBCA的大小为________．90°[取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.]三、解答题9．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.[证明]如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC．因为AB＝AD，E是AD的中点，所以AB＝AE，即A′B＝A′E.所以A′N⊥BE.因为A′C＝A′D，所以A′M⊥CD．在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，所以CD⊥平面A′MN.所以CD⊥A′N.因为DE∥BC且DE＝BC，所以BE必与CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，所以A′N⊥平面BCDE.又A′N⊂平面A′BE，所以平面A′BE⊥平面BCDE.10.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．[解](1)证明：由题意知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．(2)存在．当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．理由如下：连接AC交BD于点O，连接OP(图略)．因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．又P为AM的中点，所以PO∥MC．而PO⊂平面PBD，MC⊄平面PBD，所以MC∥平面PBD．11．(多选题)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，...