人教版高三数学不等式的概念和性质，有理不等式的解法知识精讲VIP免费

高三数学不等式的概念和性质，有理不等式的解法知识精讲一.本周教学内容：不等式的概念和性质，有理不等式的解法［基本知识］（一）不等式的概念和性质1.不等式的有关概念定义：用不等号＞≥≤＜连结的式子叫做不等式分类：条件不等式、矛盾不等式与绝对不等式2.不等式的性质：1°有关实数的大小理论（即不等式的意义，也是性质的基础）对于任意两个实数a、b（a、b∈R）（）（）（）123000abababababab2°不等式的基本性质（）（对称性）1abba（）（传递性），2abbcac3°不等式的运算性质（3）加（与减）abacbcabcdacbd（同向相加）abcdacbd（异向相减）（4）乘（与除）注意条件abcacbc，0abcacbc，0abcdacbd00（同向相乘）abcdadbc00（5）乘方：ababnNnn0()（6）开方：（取算术根）ababnNnn0()4°绝对值不等式的性质（），7||()xaaxaxaR||()xaxaxaxaR或，（）8||||||||||ababab注意：1°乘（或除）和乘方、开方，这些运算性质，使用时应注意限制条件。2°有关减与除的运算，一般转化为加与乘的运算进行。3.不等式性质的运用不等式的性质的运用非常广泛，其主要应用：（1）根据条件和性质判别不等式是否成立；（2）利用实数大小性质比较两个代数式的大小；（3）利用不等式的性质求范围。用心爱心专心115号编辑（二）有理不等式的解法1.一元一次不等式任何一元一次不等式变形后一定可化为ax>b的形式，其解有以下几种情况：（）若时，10axba（）若时，20axba（）若时，，300abxR（）若时，，400abx2.一元二次不等式任何一元二次不等式变形后，一定可化为ax2＋bx＋c>0（或<0）其中a>0，其解集随△＝b2－4ac的符号而定，结合函数y＝ax2＋bx＋c的图像，可得解集如下表：（若x1、x2为ax2＋bx＋c＝0的两根且x1≤x2）判别式图像axbxc20axbxc200yxx10x2xxxx21或xxx120yx0xx1x0y0xxRx3.高次不等式（f(x)>0）高次不等式的解法主要方法是区间讨论法与数轴标根法，其步骤：（1）f(x)的最高次数项的系数化为正数（2）然后将f(x)分解为若干个一次因式和非负的二次三项式的乘积，即：axxxxxxn()()()120…形式（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线。（4）根据曲线呈现出的f(x)的值符号变化规律写出解集。如设则…，xxxxxn1234用心爱心专心115号编辑axxxxxxxxan()()()()()12300…的解集如图：+++xx1x2……xn-2xn-1xn故由图可知原不等式的解集为()()()xxxxxnnn1221，…，，对有关重根的情况应另作处理（分奇次重根和偶次重根采取不同方法）4.分式不等式（）100fxgxfxgx()()()()（）200fxgxfxgx()()()()（）3000fxgxfxgxgx()()()()()（）4000fxgxfxgxgx()()()()()其求解的基本思路是通过以上同解变形把分式不等式转化为一元二次不等式或高次不等式进行求解。二.重点、难点：1.不等式的性质是重点，特别是在运算性质中，乘法、除法、乘方、开方时应注意不等式应满足的条件，一般应将相减和相除转化为相加和相乘来做。2.在有理不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是重点，特别是一元二次不等式。难点是分式不等式和高次不等式，应注意运用不等式的基本性质进行合理的同解变形，如：（1）在解一元二次不等式时注意运用一元二次方程和二次函数的图像来进行解题；（2）在解分式不等式时，应注意分母不等于零的条件；（3）同数轴标根法解高次不等式时，一定要注意每个因式要保证x的系数为正和对奇次、偶次重根的处理方式。【典型例题】例1.（89年上海）若a