19向量应用举例时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)答案：C解析：按照共线向量及坐标运算法则代入可求．2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是()A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)答案：C解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．3．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形的形状为()A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形答案：B解析：∵AB＋CD＝0，AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．又AC·BD＝0，∴AC⊥BD，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．4．在△ABC中，·BC＝0，且·＝，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形答案：D解析：由·BC＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈AB，AC〉＝，〈AB，AC〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形，选D.5．一条河的宽度为d，一艘船从河岸的A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，船到达B处所用的时间t为()A.B.C.D.答案：C解析：如图所示，知|v合|2＝|v1|2－|v2|2.∴|v合|＝，∴t＝＝，选C.6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1答案：B解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝|BC|＝4，故选B.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的射影为________．答案：解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.∴va在vb上的射影为|va|cosθ＝5×＝.8．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．答案：解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3)到直线l的距离d＝＝.9．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，－2)，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．答案：30解析：BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD，∵AB·BC＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形，|AB|＝，|BC|＝，∴S＝|AB|·|BC|＝30.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.解：解法一(基向量法)AD·CE＝·＝·＝·＝CB2－CA·CB－CA2.∵BC⊥CA，∴CA·CB＝0.又BC＝CA，∴|CB|＝|CA|，∴AD·CE＝(|CB|2－|CA|2)＝0，∴AD⊥CE，即AD⊥CE.解法二(坐标法)以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|＝|CB|＝a，∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，∴CE＝，AD＝，∴AD·CE＝－＋×＝－＋＝0，∴AD⊥CE，即AD⊥CE.11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．解：设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，BE＝b－a.由于AR与AC共线，因此存在实数m，使得AR＝m(a＋b)．又BR与BE共线，因此存在实数n，使得BR＝nBE＝n.由AR＝AB＋BR＝AB＋nBE，得m(a＋b)＝a＋n，整理得(m＋n－1)a＋b＝0.由于向量a，b不共线，所以有，解得，所以AR＝AC.同理TC＝AC，所以RT＝AC，所以AR＝RT＝TC，所以R，T为AC的三等分点．12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°，即角θ的取值范围为[0°，60°]．
