考点十四：利用导数解决综合问题【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（3）会利用导数解决某些实际问题。【命题规律】导数综合问题是高考中的难点所在，题型变化较多，尤其是利用导数证明不等式等相关知识.熟练掌握利用导数这一工具，将试题进行分解，逐一突破，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题，这也是2018年考试的热点问题.【典型高考试题变式】（一）构造函数在导数问题中的应用例1.【2015全国2卷（理）】设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：考虑取特殊函数，是奇函数，且，，当时，>0，满足题设条件.直接研究函数，图象如下图，可知选B答案.【方法技巧归纳】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用，考查学生综合知识能力，渗透着转化与化归的数学思想，属中档题.其解题的方法运用的是特值法，将抽象问题具体化，找出与已知条件符合的特殊函数，分析其函数的图像及其性质，进而得出所求的结果，其解题的关键是特值函数的正确选取.【变式1】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求最值】【2017河南郑州三质检】设函数满足，，则时，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】对于等式，因为，故此等式可化为：，且.令，..当时，，单调递增，故，因此当时，恒成立.因为，所以恒成立.因此，在上单调递增，的最小值为.故本题正确答案为D.【变式2】【改编例题条件，利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2017河南息县第一高级中学三质检】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【变式3】【改编例题条件，利用函数单调性构造函数求解不等式】【2017江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学（理）】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【变式4】【改编例题条件，构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考（文）】已知对任意实数，关于的不等式在上恒成立，则的最大整数值为()A.0B.C.D.【答案】B【解析】令，依题意，对任意，当时，图象在直线下方，∴列表得的大致图象则当时， ，∴当时不成立；当时，设与相切于点.则，解得.∴，故成立，∴当时,.故选B.（二）方程解（函数零点）的个数问题例2.【2015全国1卷（理）】已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1...
