课时分层作业(二十一)直线与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定A[圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0,1)，半径为.由圆心(0,1)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝<，∴直线和圆相交．]2．已知圆x2＋y2－2kx－2y＝0与直线x＋y＝2k相切，则k等于()A．2B．－2C．1D．－1D[圆的方程可化为(x－k)2＋(y－1)2＝1＋k2，由＝得k＝－1.故选D.]3．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，且PQ的中点是(1,2)，则|PQ|＝()A．2B．4C．8D．10B[设PQ的中点A(1,2)，圆心O(0,0)，连接OA(图略)，则OA⊥PQ，在Rt△OAP中，PA＝＝＝2，∴PQ＝2×2＝4.]4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为()A．－2B．－4C．－6D．－8B[由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.]5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.]二、填空题6．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．相交[直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．]7．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，|MN|≥2，则k的取值范围是________．(－∞，0][因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，解得k≤0.]8．已知圆C与直线x－y＝0及x－y＝4都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为____________．(x－1)2＋(y＋1)2＝2[设圆心为点C(a，－a)，由点到直线的距离公式得＝，解得a＝1，所以圆心为(1，－1)，半径为，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]三、解答题9．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离．[解]圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d2；(2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；(3)若相离，则d>r，即>2，所以－21，可知点P(a，b)在圆外，故选B.]2．已知圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A，B两点，圆心为P，若∠APB＝90°，则c的值为()A．－3B．3C．8D．－2A[配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圆心是点P(2，－1)，半径r＝，点P到y轴的距离为2.当∠APB＝90°时，弦心距、半径和半弦长构成等腰直角三角形，所以＝，得c＝－3.]3．直线x＋y＋a＝0(a＞0)与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且S△OAB＝，则a＝________.或[∵圆心到直线x＋y＋a＝0的距离d＝，|AB|＝2×，∴S△OAB＝×2××＝，解得a2＝6或a2＝2.又a＞0，∴a＝或.]4．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.2[依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图所示，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.]5．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．[解](1)证明：因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得即l恒过定点A(3,1)．因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点．(2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC.因为kAC＝－，所以l的斜率为2.又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
