第十章复数考点突破·素养提升素养一数学抽象角度复数的概念【典例1】已知复数z=a2-a-6+i,分别求出满足下列条件的实数a的值:(1)z是实数
(2)z是虚数
(3)z是0
世纪【解析】由a2-a-6=0,解得a=-2或a=3
由a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3
由a2-4≠0,解得a≠±2
(1)由a2+2a-15=0且a2-4≠0,得a=-5或a=3,所以当a=-5或a=3时,z为实数
(2)由a2+2a-15≠0且a2-4≠0,得a≠-5且a≠3且a≠±2,所以当a≠-5且a≠3且a≠±2时,z是虚数
(3)由a2-a-6=0,a2+2a-15=0且a2-4≠0,得a=3,所以当a=3时,z=0
【类题·通】处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部
(2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根
【加练·固】设z∈C,满足z+∈R,z-是纯虚数,求z
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则z+=(x+yi)+=+i
因为z+∈R,所以y-=0解得y=0或x2+y2=1
又因为z-=+yi是纯虚数,所以x-=0且y≠0
所以x=,y=±,因此复数z=±i
素养二数学运算角度复数的四则运算【典例2】(1)若z=1+2i,则=()A
-i【解析】选C
因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i
(2)计算++
【解析】原式=++=i+(-i)1010+0=-1+i
【类题·通】进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)
②复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i的幂的性质,区分(a+bi)2=a
