考点49离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.（2014·浙江高考理科·Ｔ9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A.B.C.D.【解题指南】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算、和、在比较大小.【解析】选A.随机变量的分布列如下：12123所以，所以因为，，所以二、填空题2.（2014·上海高考理科·Ｔ13）【解题提示】根据期望公式结合分布列的性质可得.【解析】3.（2014·浙江高考理科·Ｔ12）随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的性质计算．【解析】设时的概率为，则，解得，故答案：三、解答题4.（2014·湖北高考理科·Ｔ20）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解题指南】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．【解析】（Ⅰ）依题意，，，由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为（Ⅱ）记水电站年总利润为（1）安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，（2）安装2台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，。（3）安装3台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得的分布列如下Y3400820015000P0.20.70.1所以，。综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。5.（2014·湖南高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为．现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品．设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．【解题提示】(1)利用独立事件的乘法公式求解;(2)利用分布列、期望的定义求解。【解析】记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}。由题设知，（1）且事件与，与，与，与都相互独立。记H={至少有一种新产品研发成功}，则，于是故所求的概率为（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0，100，120，220，因故所求的分布列为X0100120220P数学期望为6.(2014·广东高考理科)(13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值.(1)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.【解题提示】(1)在所给的数据中圈出(40,45],(45,50]的数字可得n1,n2的值,再换算出f1,f2的值.(2)建立坐标系,用计算各组纵坐标的值.(3)根据...
