第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A．2B．－2C．±2D．0解析：选B.因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.2．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量BC＝(2，4)，D为AC的中点，则BD＝()A．(1，3)B．(3，3)C．(－3，－3)D．(－1，－3)解析：选B.设C(x，y)，则BC＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以BD＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B.C．2D．4解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.4．已知非零不共线向量OA、OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A.由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.5．(2019·江西吉安模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A.由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC＋BA)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．6．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．解析：因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cosθ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.答案：7．(2019·绵阳诊断)在△ABC中，AN＝AC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．解析：因为B，P，N三点共线，所以AP＝tAB＋(1－t)AN＝tAB＋(1－t)AC，又因为AP＝mAB＋AC，所以解得m＝t＝.答案：8．(2019·福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且OD＝(OA＋OB－CB)，则|BD|＝________．解析：由OD＝(OA＋OB－CB)＝(OA＋OC)，知点D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以BD＝(－2，2)，故|BD|＝＝2.答案：29．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC.所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)因为AC＝2AB，所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．所以解得所以点C的坐标为(5，－3)．10.如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a，b表示OM，ON，MN.解：因为BA＝OA－OB＝a－b，BM＝BA＝a－b，所以OM＝OB＋BM＝a＋b.因为OD＝a＋b，所以ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b，所以MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.综上，OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b.1.如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D.解析：选A.因为AP＝AB＋BP，BP＝BD，所以AP＝AB＋BD，因为BD＝AD－AB，AD＝AC，所以BD＝AC－AB，所以AP＝AB＋BD＝AB＋＝AB＋AC，因为AP＝λAB＋μAC，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：选B.由OP＝OA＋λ，知OP－OA＝λ，即AP＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．3．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝________．解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM＝，BN＝，AC＝(1，1)．因为AC＝λAM＋μBN＝，所以解得所以λ＋μ＝.法二：由AM＝AB＋AD，BN＝－AB＋AD，得AC＝λAM＋μBN＝AB＋AD，又AC＝AB＋AD，所以解得所以λ＋μ＝.答案：4．(2019·长沙市统一模拟考试)平行四边形AB...
