第二讲数列求和及数列的综合应用素能演练提升七SUNENGYANLIANTISHENGQI掌握核心,赢在课堂1.若数列{an}是公差为2的等差数列,则数列{}是()A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列解析:∵an=a1+2(n-1),∴=22=4.∴{}是等比数列,公比为4.答案:A2.已知在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于()A.445B.765C.1080D.3105解析:∵an+1=an+3,∴an+1-an=3.∴{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列.∴an=a1+3(n-1)=3n-63.令an≤0,得n≤21.∴前20项都为负值.∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.∵Sn=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765.答案:B3.设数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则的值为()A.B.C.D.解析:∵Sn=2n-1,∴.答案:A4.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是()A.(1+r)n元B.元C.(1+r)n-1元D.元解析:设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)n-3+…+x(1+r)+x=a(1+r)n,即x·=a(1+r)n,故x=.答案:B5.(2014黑龙江大庆第二次质检,10)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是()A.a2014=-1,S2014=2B.a2014=-3,S2014=5C.a2014=-3,S2014=2D.a2014=-1,S2014=5解析:由已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),知an+2=an+1-an,an+2=-an-1(n≥2),an+3=-an,an+6=an,又a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,所以当k∈N时,ak+1+ak+2+ak+3+ak+4+ak+5+ak+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,a2014=a4=-1,S2014=a1+a2+a3+a4=1+3+2+(-1)=5.答案:D6.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于()A.1006B.2012C.503D.0解析:∵函数y=cos的周期T==4,∴可分四组求和:a1+a5+…+a2009=0,a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006,a3+a7+…+a2011=0,a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.故S2012=0-503×1006+0+503×1008=503×(-1006+1008)=1006.答案:A7.(2014河南郑州第二次质检,12)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn=an+(n∈N*),则S2014=()A.2014+B.2014-C.2014D.解析:由题意可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,则2Sn=an+=Sn-Sn-1+,整理,得=1.=1,即数列{}是公差为1的等差数列,又由2S1=2a1=a1+,解得a1=1(an>0),即S1=1,=1,因此=n.故S2014=.答案:D8.(2014河北唐山高三统考,16)若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an=2Sn-1+3n(n≥2),则该数列的通项公式为an=.解析:∵an=2Sn-1+3n,∴an-1=2Sn-2+3n-1(n≥3),相减得an-an-1=2an-1+2×3n-1,即an=3an-1+2×3n-1.∴(n≥3).又a2=2S1+32=2a1+32=15,,即,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×.∴an=(2n+1)3n-1.答案:(2n+1)3n-19.(2014贵州六校第一次联考,16)已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an),若a12=a14,则a13+a2014=.解析:由f(x)=,a1=1,an+2=f(an)可得a3=,a5=,同理可推得a7=,a9=,a11=,a13=,由a12=a14,得,a10=a12,依次推出a2=a4=a6=…=a2014,由a4=f(a2),得a2=+a2-1=0,a2=.故a13+a2014=.答案:10.(2013浙江高考,理18)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.当d=-1时,an=-n+11.当d=4时,an=4n+6.所以d=-1,an=-n+11,n∈N*或d=4,an=4n+6,n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11.(2014河南郑州第二次质检,17)已知正项数列{an},若对于任意正整数p,q均有ap·aq=2p+q成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)由已知,令p=q=n可得an·an=22n,因为an>0,所以an=2n.(2)bn=nan=n×2n,Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n×2n,①2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n×2n+1,②由①-②,得-Sn=1×21+22+23+…+2n-n×2n+1,即-Sn=-n×2n+1,整理可得Sn=(n-1)2n+1+2.12.已知向量p=(an,2n),向量q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an·bn}的前n项和Sn.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1an-2nan+1=0,即2nan+1=2n+1an.∴=2.∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴an=2n-1.(2)∵bn=log2an+1,∴bn=n.∴an·bn=n·2n-1.∴Sn=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①∴2Sn=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n.②①-②,得-Sn=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1.∴Sn=1+(n-1)2n.13.设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{an}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{bn}的前三项,记数列cn=,数列{cn}的前n项和为Tn.求证:对任意n∈N*,都有Tn<2.(1)解:设{an}的公差为d,则·n,且a1-=0.∵d=,∴d=,a1=,an=.(2)证明:∵b1=a1=,b2=a2=,b3=a5=,∴bn=×3n-1.∴cn=.当n≥2时,=,∴当n≥2时,Tn=+…++…+=2-<2,且T1=<2.故对任意n∈N*,都有Tn<2.
