升级增分训练定点、定值、证明问题1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，此时，原点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，即·＝－1，所以x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，满足Δ＞0．所以原点O到直线AB的距离为＝．综上，原点O到直线AB的距离为定值．2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋2．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足AB⊥BC，AD∥OC，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．解：(1)由e＝，知＝，所以c＝a，因为△PF1F2的周长是4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1．(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为AB⊥BC，所以可设C(2，y1)，所以AD＝(x0＋2，y0)，OC
