解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)(建议用时：60分钟)1．已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a.(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)求二面角BEFD的余弦值．3．(2015·威海第一次统考)为了解某地高中生的身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高统计成如图所示的茎叶图(单位：cm).1577899916124588991702345566818011247191若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．4.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．5．(2015·济南地区八校联考)已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)．(1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x＜0，不等式x2＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m的取值范围．6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n(n－1)，且an是bn和1的等差中项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若cn＝(n≥2)，c1＝b2，求i；(3)若f(n)＝(k∈N*)，是否存在n∈N*，使f(n＋11)＝2f(n)？说明理由．解答题分层综合练(二)中档解答题规范练(2)1．解：(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.2．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC，又平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，所以BC⊥平面ACFE.(2)由(1)知AC，BC，CF两两垂直，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，a，0)，A(a，0，0)，D，F(0，0，a)，E(a，0，a)，则EF＝(－a，0，0)，BE＝(a，－a，a)，DE＝.设平面BEF的法向量n1＝(x，y，z)，则即取y＝1，则n1＝(0，1，1)．设平面EFD的法向量n2＝(p，q，r)，则即取q＝2，则n2＝(0，2，－1)，则cos〈n1，n2〉＝＝，即二面角BEFD的余弦值为.3．解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是.(2)依题意，抽取的30名学生中有12名是“高个子”，所以抽取1名学生是“高个子”的频率为＝，频率作为概率，那么从所有高中生中抽取1名学生是“高个子”的概率是，又因为所取总体数量较多，抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验，于是，ξ服从二项分布B，ξ的取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝C＝，P(ξ＝1)＝C·＝，P(ξ＝2)＝C＝，P(ξ＝3)＝C＝.因此，ξ的分布列如下：ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4．解：法一：(1)证明：在△PCD中，因为E为CD的中点，且PC＝PD，所以PE⊥CD.又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，所以PE⊥平面ABCD.又因为FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD.又因为四边形ABCD是长方形，所以AD⊥CD.又因为PE∩CD＝6，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，所以∠PDE为二面角PADC的平面角．因为AB＝CD＝6，所以DE＝3.在Rt△PED中，PE＝＝＝，所以tan∠PDE＝＝，所求二面角PADC...
