6.3.1平面向量基本定理[A基础达标]1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e1，DC＝e2，则OC＝()A.(e1＋e2)B.(e1－e2)C.(2e2－e1)D.(e2－e1)解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e1，DC＝e2，所以OC＝(BC＋DC)＝(e1＋e2)，故选A.3．已知{e1，e2}为基底，向量AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．3解析：选A.DB＝CB－CD＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则DB和AB是共线向量，所以k＝2.4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3DC，则AD可表示为()A.AD＝AB＋ACB.AD＝AB＋ACC.AD＝－2AB＋3ACD.AD＝AB＋AC解析：选B.由BD＝3DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为()A.B.C.D.解析：选C.因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.6．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以解得所以x－y＝3.答案：37．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，若OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，则OC＝________．解析：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，所以OC＝2OA－OB＝2a－b.答案：2a－b8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．解析：因为BE＝BO＋OE＝BD＋EA＝BD＋EB＋BA，所以BE＝BA＋BD，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.答案：9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得所以λ不存在．故a与b不共线，可以作为一个基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以解得所以c＝2a＋b.10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．解：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．[B能力提升]11．若{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能构成一个基底，则k的值为______．解析：当a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.答案：－812．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________．解析：因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ(CE－CB)＝λ＝－AB＋λAD，所以则＝.答案：13.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点P，用向量a，b表示OP，则OP＝______．解析：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na.因为a与b不共线，所以⇒n＝.所以OP＝a＋b.答案：a＋b14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足DO＝3DM，线段CO上有点N满足OC＝λON(λ>0)，设AB＝a，AD...
