§5.3平面向量的数量积1．数量积的概念已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．a·b的几何意义：数量积a·b等于_____________．2．数量积的运算律及常用结论(1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_______________________；③分配律：___________________________．(2)常用结论①(a±b)2＝________________________；②(a＋b)·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0⇔______________________；④|－|________＋.3．数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则①e·a＝____________.②a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或＝____________.④cosθ＝____________.⑤≤____________.4．数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝________________；a2＝_____________；＝________________.②a⊥b⇔____________________.③≤________________________.自查自纠1.cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①|a|cosθ②a·b＝0③|a||b|－|a||b||a|2④⑤|a||b|4．①x1x2＋y1y2x＋y②x1x2＋y1y2＝0③()向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2解：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C.()在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝()A．2B．3C．4D．5解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以AD·AC＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.()设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB·AD＝________.解：如图所示，AB·AD＝AB·(AB＋BD)＝9＋3×cos120°＝，故填.()△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解：由AB＝2a，AC＝2a＋b得a＝AB，b＝AC－2a＝BC，④正确；|a|＝|AB|＝1，①正确；|b|＝|BC|＝2，②错误；a与b的夹角为120°，③错误；(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，⑤正确．故填①④⑤.类型一数量积的定义及几何意义(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)①a·b＝±·⇔a∥b；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·c＝b·c⇔a＝b；④(a·b)·c＝a·(b·c)．解：a·b＝cosθ，θ为a，b的夹角，则cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②.(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB＋AC＝2AO，且＝，则向量BA在向量BC方向上的投影为()A.B.C．3D．－解：由已知可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且∠A＝，又因为|OA|＝|CA|＝|OC|，∴∠C＝，∠B＝，∴AB＝，AC＝1，故BA在BC方向上的投影为|BA|cos＝.故选A.【点拨】数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．其几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二...
