2.3.3-2.3.4平面与平面垂直的性质[课时作业][A组基础巩固]1．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．任意条解析：可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.答案：C2．已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是()A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析： l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又 m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案：A3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：因为直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，所以直线l垂直于平面ABCD，而直线m垂直于AD和BC，因为AD∥BC，所以直线m与平面ABCD位置关系不确定，所以l与m的位置关系是不确定．答案：D4．已知直二面角αABβ，点C∈α，点D∈β，满足∠CAB＝∠DAB＝45°，AC＝AD，则∠CAD的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：如图．过C作CO⊥AB，O为垂足，连接OD， α⊥β，α∩β＝AB，CO⊥AB，∴CO⊥β，CO⊥OD.又∠CAO＝∠DAO＝45°，AC＝AD，∴△AOC≌△AOD，∴AO＝OD＝OC，∴AC＝AD＝CD，∴∠CAD＝60°.答案：C5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3解析：连接A′B，AB′.设AB＝a，则AA′＝a，AB′＝a，∴A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.答案：A6．若直线n⊥平面α，直线m⊂β，下列命题：①α∥β⇒n⊥m；②α⊥β⇒n∥m；③n∥m⇒α⊥β；④n⊥m⇒α⊥β.其中正确的是________．(只填序号)解析：⇒⇒n⊥m，故①正确；⇒⇒α⊥β，故③正确．答案：①③7.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取BC的中点F，连接EF，DF(图略)，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan∠EDF＝＝.答案：8．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．解析：如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.答案：49.如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明：因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC.又因为AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC.因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以DB∥EC.所以四边形BDEC为直角梯形．因为N为EC的中点，EC＝2DB，所以NC綊DB.所以四边形BCND为矩形．所以DN∥BC.又因为DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DN∥平面ABC.又因为MN∩DN＝N，且MN，DN⊂平面DMN，所以平面DMN∥平面ABC.[B组能力提升]1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小解析：由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.答案：C2．给出下列四个说法：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①④正确，②③错误．答案：B3.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．解析：如图，取BD的中点E，连接AE、CE.由AB＝AD得AE⊥BD. 平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD.∴EC为AC在平面BCD上的射影，∠ACE为AC与平面BCD所成的角． 在Rt△BCD中，E为BD的中点，∴CE＝BE.又AE＝BE，∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.∴...
