第８课解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝.2．在中，若，则的大小是______________.3．在中，若，，，则．4．在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．5．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为．6．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=_____．【范例解析】例1.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．分析：利用转化为边的关系．解：（1）由．（2）由得．由余弦定理得：，解得：或，若，则，得，即矛盾，故．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．分析一：边化角1解法一：由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，，．又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．分析二：角化边解法二：同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）．（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；（2）求的最大值与最小值．分析：利用正弦定理建立目标函数．解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，MAG＝，由正弦定理得则S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝．2ABCNMGD例3（2）＝＝72（3＋）因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240；当＝时，y取得最小值ymin＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．例4.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.（1）证明：；（2）若AC=DC，求．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.（1）证明：，，，（2）解：AC=DC，.，，.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.【反馈演练】1．在中，则BC=_____________．2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____．3．已知顶点的直角坐标分别为，，．若是钝角，则的取值范围___________．4．已知的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．5．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．6．若的内角满足，则=．3BDCαβA例47．的三个内角为，则的最大值为．8．在中，已知，给出以下四个论断：①；②；③；④．其中正确的序号有______②④_____．9．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，给出下列结论：①和都是锐角三角形；②和都是钝角三角形；③是钝角三角形，是锐角三角形；④是锐角三角形，是钝角三角形．其中，正确结论的序号有____④_____．10．在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．．411．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．12．在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．5由且，得．由得：．所以，最小边．6
