幂函数及性质运用一、核心突破：幂函数在《考试说明》中是A级要求，高考主要考查其概念及简单性质的运用．1．理解幂函数的概念，熟悉幂函数的解析式，会画简单幂函数的图象；2．熟练掌握幂函数y＝xa(a为有理数)的性质和图象之间的关系；3．理解当a>0与a<0时幂函数在第一象限的图象和增减性，并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；4．培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想．一、知识梳理：1.概念反思：幂函数的定义：一般地，形如的函数叫做幂函数（其中a是常数）．2.图像规律：①定义域判断：；。②奇偶性判断：取决于取值的奇偶性。③单调性判断：时；时；时；④规律总结：逆时针值增大规律。幂函数的性质：1）所有幂函数在都有意义，并且图象都通过点；2）a>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；(2)图象在第一象限是增函数；3）a<0时，(1)图象都经过点（1，1）；用心爱心专心1(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴；4）当为奇数时，函数为函数，当为偶数时，函数为函数．经典运用例1：概念类运用:给出下列函数：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝，其中是幂函数的有。分析幂函数的定义是形式上的，即只有形如y＝xα(α是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．变式练习：已知幂函数，当时为减函数，则幂函数．解：因为为幂函数，，解得，或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为．评注：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，理解幂函数的定义是关键．变式练习：已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．解：图象与轴都无交点，，即．又，．幂函数图象关于轴对称，，或．当时，函数为，如图1；当时，函数为，图象如图2．变式练习：【南通八重名校内部联考】4．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为.变式练习：【涟水中学09-10期中】9、已知，幂函数定义域为,且在上为增函数，则▲.用心爱心专心2变式练习：【启东2010～2011期中】12.当时，幂函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围.例2：图象类运用:1．写出下列函数的定义域，并画出函数图象、指出函数的单调性和奇偶性：强调说明：2.已知函数2245()44xxfxxx（1）求()fx的单调区间；（2）比较()f与2()2f的大小解答：（1）方法一：2245()44xxfxxx=1+2(2)x，其图象可由幂函数2yx向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在(2,)上是减函数，在(,2)上是增函数。方法二：2245()44xxfxxx=1+2(2)x，设在定义域内12xx，则221212212122222121411()[12][12]2222xxxxfxfxxxxxxx1221,2()()0,()2xxfxfxyfx当，时，在，上是增函数，2即增区间为，；1221当x,x-2,+时，f(x)-f(x)<0,y=f(x)在-2,+上是减函数，即减区间为-2,+。（2） 图象关于直线2x对称，又 222()2(2)2,222()2ff．例3：性质类运用:比较大小，；用心爱心专心3（2）（－）=（），（－）=（），1.1=［（1.1）2］=1.21． 幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5．例4已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，求m的取值范围．解析根据幂函数y＝x1.3知0＜0.71.3＜1，由幂函数y＝x0.7知，1.30.7＞1,0.71.3＜1.30.7，对于函数y＝xm， (0.71.3)m＜(1.30.7)m，∴m＞0.点评恰当地构造函数是解决本题的关键．变式迁移4设＜()b＜()a＜1，则下列不等关系成立的是()A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa解析＜()b＜()a＜1⇒1＞b＞a＞0，在A和B中，y＝ax(0＜a＜1)在定义域内是单调递减的，则aa＞ab，所以结论不成立；在C中，y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)内是...
